Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26962 / 10427
↖ ↑ ↗
← N 54.603892°
E116.213379°		 ← 707.57 m → N 54.603892°
E116.224365°		 →
↑
707.69 m
↓
↑
707.69 m
↓
N 54.597528°
E116.213379°		 ← 707.68 m →
500 778 m²		 N 54.597528°
E116.224365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822830200195312 y=0.318222045898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822830200195312 × 215)
    floor (0.822830200195312 × 32768)
    floor (26962.5)     		tx = 26962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318222045898438 × 215)
    floor (0.318222045898438 × 32768)
    floor (10427.5)     		ty = 10427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26962 / 10427 ti = "15/26962/10427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26962/10427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26962 ÷ 215
    26962 ÷ 32768     		x = 0.82281494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10427 ÷ 215
    10427 ÷ 32768     		y = 0.318206787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82281494140625 × 2 - 1) × π
    0.6456298828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02830610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318206787109375 × 2 - 1) × π
    0.36358642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1422404441467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02830610} λ = 2.02830610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1422404441467))-π/2
    2×atan(3.13378156847953)-π/2
    2×1.26190701254076-π/2
    2.52381402508152-1.57079632675     		φ = 0.95301770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02830610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.213379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95301770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.603892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26962 KachelY 10427 2.02830610 0.95301770 116.213379 54.603892
    Oben rechts KachelX + 1 26963 KachelY 10427 2.02849784 0.95301770 116.224365 54.603892
    Unten links KachelX 26962 KachelY + 1 10428 2.02830610 0.95290662 116.213379 54.597528
    Unten rechts KachelX + 1 26963 KachelY + 1 10428 2.02849784 0.95290662 116.224365 54.597528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95301770-0.95290662) × R
    0.00011107999999993 × 6371000     		dl = 707.690679999555m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95301770-0.95290662) × R
    0.00011107999999993 × 6371000     		dr = 707.690679999555m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02830610-2.02849784) × cos(0.95301770) × R
    0.000191739999999996 × 0.579225800670238 × 6371000     		do = 707.568070235663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02830610-2.02849784) × cos(0.95290662) × R
    0.000191739999999996 × 0.579316345862885 × 6371000     		du = 707.678678028265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95301770)-sin(0.95290662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579225800670238-0.579316345862885)×R²
    abs(2.02849784-2.02830610)×9.05451926475065e-05×R²
    0.000191739999999996×9.05451926475065e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.05451926475065e-05×40589641000000     		ar = 500778.467338379m²