Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26961 / 7600
↖ ↑ ↗
← N 79.765560°
W 31.898804°		 ← 108.52 m → N 79.765560°
W 31.893311°		 →
↑
108.50 m
↓
↑
108.50 m
↓
N 79.764584°
W 31.898804°		 ← 108.53 m →
11 775 m²		 N 79.764584°
W 31.893311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411399841308594 y=0.115974426269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411399841308594 × 216)
    floor (0.411399841308594 × 65536)
    floor (26961.5)     		tx = 26961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115974426269531 × 216)
    floor (0.115974426269531 × 65536)
    floor (7600.5)     		ty = 7600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26961 / 7600 ti = "16/26961/7600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26961/7600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26961 ÷ 216
    26961 ÷ 65536     		x = 0.411392211914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7600 ÷ 216
    7600 ÷ 65536     		y = 0.115966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411392211914062 × 2 - 1) × π
    -0.177215576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55673915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115966796875 × 2 - 1) × π
    0.76806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41295177927515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55673915} λ = -0.55673915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41295177927515))-π/2
    2×atan(11.166874693691)-π/2
    2×1.48148398879272-π/2
    2.96296797758544-1.57079632675     		φ = 1.39217165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55673915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.898804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39217165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.765560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26961 KachelY 7600 -0.55673915 1.39217165 -31.898804 79.765560
    Oben rechts KachelX + 1 26962 KachelY 7600 -0.55664328 1.39217165 -31.893311 79.765560
    Unten links KachelX 26961 KachelY + 1 7601 -0.55673915 1.39215462 -31.898804 79.764584
    Unten rechts KachelX + 1 26962 KachelY + 1 7601 -0.55664328 1.39215462 -31.893311 79.764584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39217165-1.39215462) × R
    1.70300000001955e-05 × 6371000     		dl = 108.498130001246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39217165-1.39215462) × R
    1.70300000001955e-05 × 6371000     		dr = 108.498130001246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55673915--0.55664328) × cos(1.39217165) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177676301473069 × 6371000     		do = 108.522511958581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55673915--0.55664328) × cos(1.39215462) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17769306048273 × 6371000     		du = 108.53274815672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39217165)-sin(1.39215462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177676301473069-0.17769306048273)×R²
    abs(-0.55664328--0.55673915)×1.6759009661943e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.6759009661943e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.6759009661943e-05×40589641000000     		ar = 11775.0449153671m²