Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26961 / 10515
↖ ↑ ↗
← N 54.040038°
E116.202393°		 ← 717.37 m → N 54.040038°
E116.213379°		 →
↑
717.37 m
↓
↑
717.37 m
↓
N 54.033586°
E116.202393°		 ← 717.48 m →
514 663 m²		 N 54.033586°
E116.213379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822799682617188 y=0.320907592773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822799682617188 × 215)
    floor (0.822799682617188 × 32768)
    floor (26961.5)     		tx = 26961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320907592773438 × 215)
    floor (0.320907592773438 × 32768)
    floor (10515.5)     		ty = 10515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26961 / 10515 ti = "15/26961/10515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26961/10515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26961 ÷ 215
    26961 ÷ 32768     		x = 0.822784423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10515 ÷ 215
    10515 ÷ 32768     		y = 0.320892333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822784423828125 × 2 - 1) × π
    0.64556884765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02811435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320892333984375 × 2 - 1) × π
    0.35821533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.12536665548044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02811435} λ = 2.02811435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12536665548044))-π/2
    2×atan(3.08134643437832)-π/2
    2×1.25698646085231-π/2
    2.51397292170462-1.57079632675     		φ = 0.94317659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02811435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.202393°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94317659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.040038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26961 KachelY 10515 2.02811435 0.94317659 116.202393 54.040038
    Oben rechts KachelX + 1 26962 KachelY 10515 2.02830610 0.94317659 116.213379 54.040038
    Unten links KachelX 26961 KachelY + 1 10516 2.02811435 0.94306399 116.202393 54.033586
    Unten rechts KachelX + 1 26962 KachelY + 1 10516 2.02830610 0.94306399 116.213379 54.033586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94317659-0.94306399) × R
    0.000112600000000018 × 6371000     		dl = 717.374600000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94317659-0.94306399) × R
    0.000112600000000018 × 6371000     		dr = 717.374600000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02811435-2.02830610) × cos(0.94317659) × R
    0.000191749999999935 × 0.587219772667592 × 6371000     		do = 717.370722666564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02811435-2.02830610) × cos(0.94306399) × R
    0.000191749999999935 × 0.587310910485521 × 6371000     		du = 717.482060202106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94317659)-sin(0.94306399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587219772667592-0.587310910485521)×R²
    abs(2.02830610-2.02811435)×9.11378179293543e-05×R²
    0.000191749999999935×9.11378179293543e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.11378179293543e-05×40589641000000     		ar = 514663.471128726m²