Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26960 / 9327
↖ ↑ ↗
← N 77.935203°
W 31.904297°		 ← 127.68 m → N 77.935203°
W 31.898804°		 →
↑
127.67 m
↓
↑
127.67 m
↓
N 77.934055°
W 31.904297°		 ← 127.69 m →
16 302 m²		 N 77.934055°
W 31.898804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411384582519531 y=0.142326354980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411384582519531 × 216)
    floor (0.411384582519531 × 65536)
    floor (26960.5)     		tx = 26960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142326354980469 × 216)
    floor (0.142326354980469 × 65536)
    floor (9327.5)     		ty = 9327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26960 / 9327 ti = "16/26960/9327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26960/9327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26960 ÷ 216
    26960 ÷ 65536     		x = 0.411376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9327 ÷ 216
    9327 ÷ 65536     		y = 0.142318725585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411376953125 × 2 - 1) × π
    -0.17724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55683503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142318725585938 × 2 - 1) × π
    0.715362548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24737772798747
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55683503} λ = -0.55683503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24737772798747))-π/2
    2×atan(9.46288900402698)-π/2
    2×1.46551111483222-π/2
    2.93102222966443-1.57079632675     		φ = 1.36022590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55683503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.904297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36022590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.935203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26960 KachelY 9327 -0.55683503 1.36022590 -31.904297 77.935203
    Oben rechts KachelX + 1 26961 KachelY 9327 -0.55673915 1.36022590 -31.898804 77.935203
    Unten links KachelX 26960 KachelY + 1 9328 -0.55683503 1.36020586 -31.904297 77.934055
    Unten rechts KachelX + 1 26961 KachelY + 1 9328 -0.55673915 1.36020586 -31.898804 77.934055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36022590-1.36020586) × R
    2.004000000011e-05 × 6371000     		dl = 127.674840000701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36022590-1.36020586) × R
    2.004000000011e-05 × 6371000     		dr = 127.674840000701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55683503--0.55673915) × cos(1.36022590) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.209017760940799 × 6371000     		do = 127.678808617037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55683503--0.55673915) × cos(1.36020586) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.20903735825219 × 6371000     		du = 127.690779663705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36022590)-sin(1.36020586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209017760940799-0.20903735825219)×R²
    abs(-0.55673915--0.55683503)×1.9597311391617e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.9597311391617e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.9597311391617e-05×40589641000000     		ar = 16302.1356629451m²