Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26959 / 10800
↖ ↑ ↗
← N 52.160454°
E116.180420°		 ← 749.42 m → N 52.160454°
E116.191406°		 →
↑
749.48 m
↓
↑
749.48 m
↓
N 52.153714°
E116.180420°		 ← 749.53 m →
561 719 m²		 N 52.153714°
E116.191406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822738647460938 y=0.329605102539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822738647460938 × 215)
    floor (0.822738647460938 × 32768)
    floor (26959.5)     		tx = 26959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329605102539062 × 215)
    floor (0.329605102539062 × 32768)
    floor (10800.5)     		ty = 10800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26959 / 10800 ti = "15/26959/10800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26959/10800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26959 ÷ 215
    26959 ÷ 32768     		x = 0.822723388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10800 ÷ 215
    10800 ÷ 32768     		y = 0.32958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822723388671875 × 2 - 1) × π
    0.64544677734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02773085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32958984375 × 2 - 1) × π
    0.3408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.07071858991357
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02773085} λ = 2.02773085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07071858991357))-π/2
    2×atan(2.91747521516964)-π/2
    2×1.24058399907285-π/2
    2.48116799814569-1.57079632675     		φ = 0.91037167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02773085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.180420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91037167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.160454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26959 KachelY 10800 2.02773085 0.91037167 116.180420 52.160454
    Oben rechts KachelX + 1 26960 KachelY 10800 2.02792260 0.91037167 116.191406 52.160454
    Unten links KachelX 26959 KachelY + 1 10801 2.02773085 0.91025403 116.180420 52.153714
    Unten rechts KachelX + 1 26960 KachelY + 1 10801 2.02792260 0.91025403 116.191406 52.153714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91037167-0.91025403) × R
    0.000117639999999919 × 6371000     		dl = 749.484439999483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91037167-0.91025403) × R
    0.000117639999999919 × 6371000     		dr = 749.484439999483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02773085-2.02792260) × cos(0.91037167) × R
    0.000191749999999935 × 0.613452272249651 × 6371000     		do = 749.417373781606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02773085-2.02792260) × cos(0.91025403) × R
    0.000191749999999935 × 0.613545172053088 × 6371000     		du = 749.530863827801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91037167)-sin(0.91025403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613452272249651-0.613545172053088)×R²
    abs(2.02792260-2.02773085)×9.28998034364081e-05×R²
    0.000191749999999935×9.28998034364081e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.28998034364081e-05×40589641000000     		ar = 561719.190874206m²