Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26958 / 6706
↖ ↑ ↗
← N 80.602293°
W 31.915283°		 ← 99.73 m → N 80.602293°
W 31.909790°		 →
↑
99.71 m
↓
↑
99.71 m
↓
N 80.601396°
W 31.915283°		 ← 99.74 m →
9 945 m²		 N 80.601396°
W 31.909790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411354064941406 y=0.102333068847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411354064941406 × 216)
    floor (0.411354064941406 × 65536)
    floor (26958.5)     		tx = 26958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102333068847656 × 216)
    floor (0.102333068847656 × 65536)
    floor (6706.5)     		ty = 6706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26958 / 6706 ti = "16/26958/6706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26958/6706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26958 ÷ 216
    26958 ÷ 65536     		x = 0.411346435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6706 ÷ 216
    6706 ÷ 65536     		y = 0.102325439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411346435546875 × 2 - 1) × π
    -0.17730712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55702677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102325439453125 × 2 - 1) × π
    0.79534912109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.49866295579581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55702677} λ = -0.55702677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49866295579581))-π/2
    2×atan(12.1662163121535)-π/2
    2×1.48878585920746-π/2
    2.97757171841493-1.57079632675     		φ = 1.40677539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55702677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.915283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40677539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.602293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26958 KachelY 6706 -0.55702677 1.40677539 -31.915283 80.602293
    Oben rechts KachelX + 1 26959 KachelY 6706 -0.55693090 1.40677539 -31.909790 80.602293
    Unten links KachelX 26958 KachelY + 1 6707 -0.55702677 1.40675974 -31.915283 80.601396
    Unten rechts KachelX + 1 26959 KachelY + 1 6707 -0.55693090 1.40675974 -31.909790 80.601396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40677539-1.40675974) × R
    1.56499999999227e-05 × 6371000     		dl = 99.7061499995073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40677539-1.40675974) × R
    1.56499999999227e-05 × 6371000     		dr = 99.7061499995073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55702677--0.55693090) × cos(1.40677539) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.163286486504973 × 6371000     		do = 99.7333889635051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55702677--0.55693090) × cos(1.40675974) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.163301926441567 × 6371000     		du = 99.7428194879468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40677539)-sin(1.40675974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163286486504973-0.163301926441567)×R²
    abs(-0.55693090--0.55702677)×1.54399365948077e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.54399365948077e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.54399365948077e-05×40589641000000     		ar = 9944.50238090698m²