Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26957 / 9318
↖ ↑ ↗
← N 77.945533°
W 31.920777°		 ← 127.57 m → N 77.945533°
W 31.915283°		 →
↑
127.55 m
↓
↑
127.55 m
↓
N 77.944385°
W 31.920777°		 ← 127.58 m →
16 272 m²		 N 77.944385°
W 31.915283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411338806152344 y=0.142189025878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411338806152344 × 216)
    floor (0.411338806152344 × 65536)
    floor (26957.5)     		tx = 26957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142189025878906 × 216)
    floor (0.142189025878906 × 65536)
    floor (9318.5)     		ty = 9318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26957 / 9318 ti = "16/26957/9318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26957/9318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26957 ÷ 216
    26957 ÷ 65536     		x = 0.411331176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9318 ÷ 216
    9318 ÷ 65536     		y = 0.142181396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411331176757812 × 2 - 1) × π
    -0.177337646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55712265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142181396484375 × 2 - 1) × π
    0.71563720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24824059218063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55712265} λ = -0.55712265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24824059218063))-π/2
    2×atan(9.47105771585005)-π/2
    2×1.46560125376615-π/2
    2.93120250753229-1.57079632675     		φ = 1.36040618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55712265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.920777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36040618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.945533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26957 KachelY 9318 -0.55712265 1.36040618 -31.920777 77.945533
    Oben rechts KachelX + 1 26958 KachelY 9318 -0.55702677 1.36040618 -31.915283 77.945533
    Unten links KachelX 26957 KachelY + 1 9319 -0.55712265 1.36038616 -31.920777 77.944385
    Unten rechts KachelX + 1 26958 KachelY + 1 9319 -0.55702677 1.36038616 -31.915283 77.944385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36040618-1.36038616) × R
    2.00200000000095e-05 × 6371000     		dl = 127.54742000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36040618-1.36038616) × R
    2.00200000000095e-05 × 6371000     		dr = 127.54742000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55712265--0.55702677) × cos(1.36040618) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.208841459597797 × 6371000     		do = 127.571114680739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55712265--0.55702677) × cos(1.36038616) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.208861038105141 × 6371000     		du = 127.583074240926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36040618)-sin(1.36038616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208841459597797-0.208861038105141)×R²
    abs(-0.55702677--0.55712265)×1.95785073436039e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.95785073436039e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.95785073436039e-05×40589641000000     		ar = 16272.1292498374m²