Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26957 / 7366
↖ ↑ ↗
← N 79.991442°
W 31.920777°		 ← 106.16 m → N 79.991442°
W 31.915283°		 →
↑
106.14 m
↓
↑
106.14 m
↓
N 79.990487°
W 31.920777°		 ← 106.17 m →
11 269 m²		 N 79.990487°
W 31.915283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411338806152344 y=0.112403869628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411338806152344 × 216)
    floor (0.411338806152344 × 65536)
    floor (26957.5)     		tx = 26957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112403869628906 × 216)
    floor (0.112403869628906 × 65536)
    floor (7366.5)     		ty = 7366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26957 / 7366 ti = "16/26957/7366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26957/7366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26957 ÷ 216
    26957 ÷ 65536     		x = 0.411331176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7366 ÷ 216
    7366 ÷ 65536     		y = 0.112396240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411331176757812 × 2 - 1) × π
    -0.177337646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55712265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112396240234375 × 2 - 1) × π
    0.77520751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43538624829733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55712265} λ = -0.55712265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43538624829733))-π/2
    2×atan(11.4202289055674)-π/2
    2×1.48345518075904-π/2
    2.96691036151808-1.57079632675     		φ = 1.39611403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55712265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.920777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39611403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.991442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26957 KachelY 7366 -0.55712265 1.39611403 -31.920777 79.991442
    Oben rechts KachelX + 1 26958 KachelY 7366 -0.55702677 1.39611403 -31.915283 79.991442
    Unten links KachelX 26957 KachelY + 1 7367 -0.55712265 1.39609737 -31.920777 79.990487
    Unten rechts KachelX + 1 26958 KachelY + 1 7367 -0.55702677 1.39609737 -31.915283 79.990487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39611403-1.39609737) × R
    1.66600000000017e-05 × 6371000     		dl = 106.140860000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39611403-1.39609737) × R
    1.66600000000017e-05 × 6371000     		dr = 106.140860000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55712265--0.55702677) × cos(1.39611403) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.173795278034468 × 6371000     		do = 106.163102804419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55712265--0.55702677) × cos(1.39609737) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.173811684475201 × 6371000     		du = 106.173124703023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39611403)-sin(1.39609737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173795278034468-0.173811684475201)×R²
    abs(-0.55702677--0.55712265)×1.64064407336406e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.64064407336406e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.64064407336406e-05×40589641000000     		ar = 11268.7748990084m²