Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26956 / 10436
↖ ↑ ↗
← N 54.546580°
E116.147461°		 ← 708.60 m → N 54.546580°
E116.158447°		 →
↑
708.65 m
↓
↑
708.65 m
↓
N 54.540207°
E116.147461°		 ← 708.71 m →
502 187 m²		 N 54.540207°
E116.158447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822647094726562 y=0.318496704101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822647094726562 × 215)
    floor (0.822647094726562 × 32768)
    floor (26956.5)     		tx = 26956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318496704101562 × 215)
    floor (0.318496704101562 × 32768)
    floor (10436.5)     		ty = 10436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26956 / 10436 ti = "15/26956/10436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26956/10436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26956 ÷ 215
    26956 ÷ 32768     		x = 0.8226318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10436 ÷ 215
    10436 ÷ 32768     		y = 0.3184814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8226318359375 × 2 - 1) × π
    0.645263671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02715561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3184814453125 × 2 - 1) × π
    0.363037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14051471576038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02715561} λ = 2.02715561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14051471576038))-π/2
    2×atan(3.12837817640482)-π/2
    2×1.26140686771106-π/2
    2.52281373542212-1.57079632675     		φ = 0.95201741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02715561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.147461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95201741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.546580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26956 KachelY 10436 2.02715561 0.95201741 116.147461 54.546580
    Oben rechts KachelX + 1 26957 KachelY 10436 2.02734736 0.95201741 116.158447 54.546580
    Unten links KachelX 26956 KachelY + 1 10437 2.02715561 0.95190618 116.147461 54.540207
    Unten rechts KachelX + 1 26957 KachelY + 1 10437 2.02734736 0.95190618 116.158447 54.540207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95201741-0.95190618) × R
    0.000111229999999907 × 6371000     		dl = 708.646329999405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95201741-0.95190618) × R
    0.000111229999999907 × 6371000     		dr = 708.646329999405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02715561-2.02734736) × cos(0.95201741) × R
    0.000191749999999935 × 0.580040914295352 × 6371000     		do = 708.600747508847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02715561-2.02734736) × cos(0.95190618) × R
    0.000191749999999935 × 0.580131517257049 × 6371000     		du = 708.711431643024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95201741)-sin(0.95190618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580040914295352-0.580131517257049)×R²
    abs(2.02734736-2.02715561)×9.06029616977166e-05×R²
    0.000191749999999935×9.06029616977166e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.06029616977166e-05×40589641000000     		ar = 502186.537627589m²