Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26955 / 6705
↖ ↑ ↗
← N 80.603190°
W 31.931762°		 ← 99.72 m → N 80.603190°
W 31.926269°		 →
↑
99.77 m
↓
↑
99.77 m
↓
N 80.602293°
W 31.931762°		 ← 99.73 m →
9 950 m²		 N 80.602293°
W 31.926269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411308288574219 y=0.102317810058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411308288574219 × 216)
    floor (0.411308288574219 × 65536)
    floor (26955.5)     		tx = 26955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102317810058594 × 216)
    floor (0.102317810058594 × 65536)
    floor (6705.5)     		ty = 6705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26955 / 6705 ti = "16/26955/6705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26955/6705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26955 ÷ 216
    26955 ÷ 65536     		x = 0.411300659179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6705 ÷ 216
    6705 ÷ 65536     		y = 0.102310180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411300659179688 × 2 - 1) × π
    -0.177398681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55731439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102310180664062 × 2 - 1) × π
    0.795379638671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.49875882959505
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55731439} λ = -0.55731439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49875882959505))-π/2
    2×atan(12.1673827894501)-π/2
    2×1.48879368628512-π/2
    2.97758737257025-1.57079632675     		φ = 1.40679105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55731439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.931762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40679105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.603190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26955 KachelY 6705 -0.55731439 1.40679105 -31.931762 80.603190
    Oben rechts KachelX + 1 26956 KachelY 6705 -0.55721852 1.40679105 -31.926269 80.603190
    Unten links KachelX 26955 KachelY + 1 6706 -0.55731439 1.40677539 -31.931762 80.602293
    Unten rechts KachelX + 1 26956 KachelY + 1 6706 -0.55721852 1.40677539 -31.926269 80.602293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40679105-1.40677539) × R
    1.56600000000839e-05 × 6371000     		dl = 99.7698600005348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40679105-1.40677539) × R
    1.56600000000839e-05 × 6371000     		dr = 99.7698600005348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55731439--0.55721852) × cos(1.40679105) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.163271036662573 × 6371000     		do = 99.7239523887187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55731439--0.55721852) × cos(1.40677539) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.163286486504973 × 6371000     		du = 99.7333889635051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40679105)-sin(1.40677539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163271036662573-0.163286486504973)×R²
    abs(-0.55721852--0.55731439)×1.54498424000393e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.54498424000393e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.54498424000393e-05×40589641000000     		ar = 9949.91551136063m²