Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26954 / 6695
↖ ↑ ↗
← N 80.612154°
W 31.937256°		 ← 99.64 m → N 80.612154°
W 31.931762°		 →
↑
99.64 m
↓
↑
99.64 m
↓
N 80.611258°
W 31.937256°		 ← 99.65 m →
9 929 m²		 N 80.611258°
W 31.931762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411293029785156 y=0.102165222167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411293029785156 × 216)
    floor (0.411293029785156 × 65536)
    floor (26954.5)     		tx = 26954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102165222167969 × 216)
    floor (0.102165222167969 × 65536)
    floor (6695.5)     		ty = 6695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26954 / 6695 ti = "16/26954/6695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26954/6695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26954 ÷ 216
    26954 ÷ 65536     		x = 0.411285400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6695 ÷ 216
    6695 ÷ 65536     		y = 0.102157592773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411285400390625 × 2 - 1) × π
    -0.17742919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55741027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102157592773438 × 2 - 1) × π
    0.795684814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.49971756758745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55741027} λ = -0.55741027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49971756758745))-π/2
    2×atan(12.1790537153845)-π/2
    2×1.48887191635607-π/2
    2.97774383271214-1.57079632675     		φ = 1.40694751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55741027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.937256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40694751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.612154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26954 KachelY 6695 -0.55741027 1.40694751 -31.937256 80.612154
    Oben rechts KachelX + 1 26955 KachelY 6695 -0.55731439 1.40694751 -31.931762 80.612154
    Unten links KachelX 26954 KachelY + 1 6696 -0.55741027 1.40693187 -31.937256 80.611258
    Unten rechts KachelX + 1 26955 KachelY + 1 6696 -0.55731439 1.40693187 -31.931762 80.611258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40694751-1.40693187) × R
    1.56399999999834e-05 × 6371000     		dl = 99.6424399998945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40694751-1.40693187) × R
    1.56399999999834e-05 × 6371000     		dr = 99.6424399998945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55741027--0.55731439) × cos(1.40694751) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.163116674161957 × 6371000     		do = 99.6400618244439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55741027--0.55731439) × cos(1.40693187) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.163132104672143 × 6371000     		du = 99.649487574428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40694751)-sin(1.40693187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163116674161957-0.163132104672143)×R²
    abs(-0.55731439--0.55741027)×1.54305101858487e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.54305101858487e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.54305101858487e-05×40589641000000     		ar = 9928.84848463309m²