Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26953 / 6707
↖ ↑ ↗
← N 80.601396°
W 31.942749°		 ← 99.74 m → N 80.601396°
W 31.937256°		 →
↑
99.77 m
↓
↑
99.77 m
↓
N 80.600499°
W 31.942749°		 ← 99.75 m →
9 952 m²		 N 80.600499°
W 31.937256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411277770996094 y=0.102348327636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411277770996094 × 216)
    floor (0.411277770996094 × 65536)
    floor (26953.5)     		tx = 26953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102348327636719 × 216)
    floor (0.102348327636719 × 65536)
    floor (6707.5)     		ty = 6707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26953 / 6707 ti = "16/26953/6707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26953/6707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26953 ÷ 216
    26953 ÷ 65536     		x = 0.411270141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6707 ÷ 216
    6707 ÷ 65536     		y = 0.102340698242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411270141601562 × 2 - 1) × π
    -0.177459716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55750614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102340698242188 × 2 - 1) × π
    0.795318603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.49856708199657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55750614} λ = -0.55750614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49856708199657))-π/2
    2×atan(12.1650499466861)-π/2
    2×1.48877803138943-π/2
    2.97755606277886-1.57079632675     		φ = 1.40675974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55750614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.942749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40675974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.601396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26953 KachelY 6707 -0.55750614 1.40675974 -31.942749 80.601396
    Oben rechts KachelX + 1 26954 KachelY 6707 -0.55741027 1.40675974 -31.937256 80.601396
    Unten links KachelX 26953 KachelY + 1 6708 -0.55750614 1.40674408 -31.942749 80.600499
    Unten rechts KachelX + 1 26954 KachelY + 1 6708 -0.55741027 1.40674408 -31.937256 80.600499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40675974-1.40674408) × R
    1.56600000000839e-05 × 6371000     		dl = 99.7698600005348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40675974-1.40674408) × R
    1.56600000000839e-05 × 6371000     		dr = 99.7698600005348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55750614--0.55741027) × cos(1.40675974) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.163301926441567 × 6371000     		do = 99.7428194879468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55750614--0.55741027) × cos(1.40674408) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.163317376203902 × 6371000     		du = 99.7522560138301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40675974)-sin(1.40674408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163301926441567-0.163317376203902)×R²
    abs(-0.55741027--0.55750614)×1.54497623345018e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.54497623345018e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.54497623345018e-05×40589641000000     		ar = 9951.79787705973m²