Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26953 / 10439
↖ ↑ ↗
← N 54.527458°
E116.114502°		 ← 708.93 m → N 54.527458°
E116.125489°		 →
↑
709.03 m
↓
↑
709.03 m
↓
N 54.521081°
E116.114502°		 ← 709.04 m →
502 693 m²		 N 54.521081°
E116.125489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822555541992188 y=0.318588256835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822555541992188 × 215)
    floor (0.822555541992188 × 32768)
    floor (26953.5)     		tx = 26953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318588256835938 × 215)
    floor (0.318588256835938 × 32768)
    floor (10439.5)     		ty = 10439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26953 / 10439 ti = "15/26953/10439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26953/10439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26953 ÷ 215
    26953 ÷ 32768     		x = 0.822540283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10439 ÷ 215
    10439 ÷ 32768     		y = 0.318572998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822540283203125 × 2 - 1) × π
    0.64508056640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02658037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318572998046875 × 2 - 1) × π
    0.36285400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13993947296494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02658037} λ = 2.02658037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13993947296494))-π/2
    2×atan(3.12657911689505)-π/2
    2×1.26123999644166-π/2
    2.52247999288332-1.57079632675     		φ = 0.95168367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02658037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.114502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95168367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.527458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26953 KachelY 10439 2.02658037 0.95168367 116.114502 54.527458
    Oben rechts KachelX + 1 26954 KachelY 10439 2.02677212 0.95168367 116.125489 54.527458
    Unten links KachelX 26953 KachelY + 1 10440 2.02658037 0.95157238 116.114502 54.521081
    Unten rechts KachelX + 1 26954 KachelY + 1 10440 2.02677212 0.95157238 116.125489 54.521081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95168367-0.95157238) × R
    0.000111289999999986 × 6371000     		dl = 709.028589999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95168367-0.95157238) × R
    0.000111289999999986 × 6371000     		dr = 709.028589999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02658037-2.02677212) × cos(0.95168367) × R
    0.000191749999999935 × 0.580312742366653 × 6371000     		do = 708.93282335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02658037-2.02677212) × cos(0.95157238) × R
    0.000191749999999935 × 0.580403372649151 × 6371000     		du = 709.043540860339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95168367)-sin(0.95157238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580312742366653-0.580403372649151)×R²
    abs(2.02677212-2.02658037)×9.06302824983385e-05×R²
    0.000191749999999935×9.06302824983385e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.06302824983385e-05×40589641000000     		ar = 502692.891604142m²