Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26952 / 6694
↖ ↑ ↗
← N 80.613050°
W 31.948242°		 ← 99.63 m → N 80.613050°
W 31.942749°		 →
↑
99.58 m
↓
↑
99.58 m
↓
N 80.612154°
W 31.948242°		 ← 99.64 m →
9 922 m²		 N 80.612154°
W 31.942749°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411262512207031 y=0.102149963378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411262512207031 × 216)
    floor (0.411262512207031 × 65536)
    floor (26952.5)     		tx = 26952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102149963378906 × 216)
    floor (0.102149963378906 × 65536)
    floor (6694.5)     		ty = 6694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26952 / 6694 ti = "16/26952/6694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26952/6694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26952 ÷ 216
    26952 ÷ 65536     		x = 0.4112548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6694 ÷ 216
    6694 ÷ 65536     		y = 0.102142333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4112548828125 × 2 - 1) × π
    -0.177490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55760202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102142333984375 × 2 - 1) × π
    0.79571533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.49981344138669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55760202} λ = -0.55760202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49981344138669))-π/2
    2×atan(12.1802214235108)-π/2
    2×1.4888797352941-π/2
    2.97775947058819-1.57079632675     		φ = 1.40696314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55760202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.948242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40696314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.613050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26952 KachelY 6694 -0.55760202 1.40696314 -31.948242 80.613050
    Oben rechts KachelX + 1 26953 KachelY 6694 -0.55750614 1.40696314 -31.942749 80.613050
    Unten links KachelX 26952 KachelY + 1 6695 -0.55760202 1.40694751 -31.948242 80.612154
    Unten rechts KachelX + 1 26953 KachelY + 1 6695 -0.55750614 1.40694751 -31.942749 80.612154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40696314-1.40694751) × R
    1.56300000000442e-05 × 6371000     		dl = 99.5787300002817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40696314-1.40694751) × R
    1.56300000000442e-05 × 6371000     		dr = 99.5787300002817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55760202--0.55750614) × cos(1.40696314) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.163101253477965 × 6371000     		do = 99.6306420769198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55760202--0.55750614) × cos(1.40694751) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.163116674161957 × 6371000     		du = 99.6400618245592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40696314)-sin(1.40694751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163101253477965-0.163116674161957)×R²
    abs(-0.55750614--0.55760202)×1.54206839924342e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.54206839924342e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.54206839924342e-05×40589641000000     		ar = 9921.56181038007m²