Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26951 / 10422
↖ ↑ ↗
← N 54.635697°
E116.092529°		 ← 707.05 m → N 54.635697°
E116.103516°		 →
↑
707.12 m
↓
↑
707.12 m
↓
N 54.629338°
E116.092529°		 ← 707.16 m →
500 008 m²		 N 54.629338°
E116.103516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822494506835938 y=0.318069458007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822494506835938 × 215)
    floor (0.822494506835938 × 32768)
    floor (26951.5)     		tx = 26951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318069458007812 × 215)
    floor (0.318069458007812 × 32768)
    floor (10422.5)     		ty = 10422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26951 / 10422 ti = "15/26951/10422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26951/10422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26951 ÷ 215
    26951 ÷ 32768     		x = 0.822479248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10422 ÷ 215
    10422 ÷ 32768     		y = 0.31805419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822479248046875 × 2 - 1) × π
    0.64495849609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02619687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31805419921875 × 2 - 1) × π
    0.3638916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1431991821391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02619687} λ = 2.02619687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1431991821391))-π/2
    2×atan(3.13678748464189)-π/2
    2×1.2621845669449-π/2
    2.5243691338898-1.57079632675     		φ = 0.95357281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02619687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.092529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95357281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.635697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26951 KachelY 10422 2.02619687 0.95357281 116.092529 54.635697
    Oben rechts KachelX + 1 26952 KachelY 10422 2.02638862 0.95357281 116.103516 54.635697
    Unten links KachelX 26951 KachelY + 1 10423 2.02619687 0.95346182 116.092529 54.629338
    Unten rechts KachelX + 1 26952 KachelY + 1 10423 2.02638862 0.95346182 116.103516 54.629338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95357281-0.95346182) × R
    0.000110990000000033 × 6371000     		dl = 707.11729000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95357281-0.95346182) × R
    0.000110990000000033 × 6371000     		dr = 707.11729000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02619687-2.02638862) × cos(0.95357281) × R
    0.000191749999999935 × 0.578773204017074 × 6371000     		do = 707.052062875276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02619687-2.02638862) × cos(0.95346182) × R
    0.000191749999999935 × 0.578863711526376 × 6371000     		du = 707.162630401059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95357281)-sin(0.95346182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578773204017074-0.578863711526376)×R²
    abs(2.02638862-2.02619687)×9.05075093018404e-05×R²
    0.000191749999999935×9.05075093018404e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.05075093018404e-05×40589641000000     		ar = 500007.831207526m²