Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26949 / 10434
↖ ↑ ↗
← N 54.559323°
E116.070557°		 ← 708.38 m → N 54.559323°
E116.081543°		 →
↑
708.46 m
↓
↑
708.46 m
↓
N 54.552951°
E116.070557°		 ← 708.49 m →
501 894 m²		 N 54.552951°
E116.081543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822433471679688 y=0.318435668945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822433471679688 × 215)
    floor (0.822433471679688 × 32768)
    floor (26949.5)     		tx = 26949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318435668945312 × 215)
    floor (0.318435668945312 × 32768)
    floor (10434.5)     		ty = 10434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26949 / 10434 ti = "15/26949/10434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26949/10434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26949 ÷ 215
    26949 ÷ 32768     		x = 0.822418212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10434 ÷ 215
    10434 ÷ 32768     		y = 0.31842041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822418212890625 × 2 - 1) × π
    0.64483642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02581338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31842041015625 × 2 - 1) × π
    0.3631591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.14089821095734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02581338} λ = 2.02581338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14089821095734))-π/2
    2×atan(3.12957812448221)-π/2
    2×1.26151807179225-π/2
    2.5230361435845-1.57079632675     		φ = 0.95223982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02581338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.070557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95223982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.559323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26949 KachelY 10434 2.02581338 0.95223982 116.070557 54.559323
    Oben rechts KachelX + 1 26950 KachelY 10434 2.02600513 0.95223982 116.081543 54.559323
    Unten links KachelX 26949 KachelY + 1 10435 2.02581338 0.95212862 116.070557 54.552951
    Unten rechts KachelX + 1 26950 KachelY + 1 10435 2.02600513 0.95212862 116.081543 54.552951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95223982-0.95212862) × R
    0.000111199999999978 × 6371000     		dl = 708.45519999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95223982-0.95212862) × R
    0.000111199999999978 × 6371000     		dr = 708.45519999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02581338-2.02600513) × cos(0.95223982) × R
    0.000191749999999935 × 0.579859727579899 × 6371000     		do = 708.379402705672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02581338-2.02600513) × cos(0.95212862) × R
    0.000191749999999935 × 0.579950320450359 × 6371000     		du = 708.490074511996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95223982)-sin(0.95212862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579859727579899-0.579950320450359)×R²
    abs(2.02600513-2.02581338)×9.05928704598713e-05×R²
    0.000191749999999935×9.05928704598713e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.05928704598713e-05×40589641000000     		ar = 501894.274944439m²