Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26948 / 10423
↖ ↑ ↗
← N 54.629338°
E116.059570°		 ← 707.16 m → N 54.629338°
E116.070557°		 →
↑
707.18 m
↓
↑
707.18 m
↓
N 54.622978°
E116.059570°		 ← 707.27 m →
500 131 m²		 N 54.622978°
E116.070557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822402954101562 y=0.318099975585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822402954101562 × 215)
    floor (0.822402954101562 × 32768)
    floor (26948.5)     		tx = 26948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318099975585938 × 215)
    floor (0.318099975585938 × 32768)
    floor (10423.5)     		ty = 10423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26948 / 10423 ti = "15/26948/10423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26948/10423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26948 ÷ 215
    26948 ÷ 32768     		x = 0.8223876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10423 ÷ 215
    10423 ÷ 32768     		y = 0.318084716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8223876953125 × 2 - 1) × π
    0.644775390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02562163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318084716796875 × 2 - 1) × π
    0.36383056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14300743454062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02562163} λ = 2.02562163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14300743454062))-π/2
    2×atan(3.13618607083643)-π/2
    2×1.26212907342023-π/2
    2.52425814684045-1.57079632675     		φ = 0.95346182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02562163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.059570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95346182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.629338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26948 KachelY 10423 2.02562163 0.95346182 116.059570 54.629338
    Oben rechts KachelX + 1 26949 KachelY 10423 2.02581338 0.95346182 116.070557 54.629338
    Unten links KachelX 26948 KachelY + 1 10424 2.02562163 0.95335082 116.059570 54.622978
    Unten rechts KachelX + 1 26949 KachelY + 1 10424 2.02581338 0.95335082 116.070557 54.622978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95346182-0.95335082) × R
    0.000110999999999972 × 6371000     		dl = 707.180999999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95346182-0.95335082) × R
    0.000110999999999972 × 6371000     		dr = 707.180999999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02562163-2.02581338) × cos(0.95346182) × R
    0.000191750000000379 × 0.578863711526376 × 6371000     		do = 707.162630402696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02562163-2.02581338) × cos(0.95335082) × R
    0.000191750000000379 × 0.578954220058383 × 6371000     		du = 707.273199177857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95346182)-sin(0.95335082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578863711526376-0.578954220058383)×R²
    abs(2.02581338-2.02562163)×9.05085320076493e-05×R²
    0.000191750000000379×9.05085320076493e-05×6371000²
    0.000191750000000379×9.05085320076493e-05×40589641000000     		ar = 500131.072712982m²