Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26947 / 9326
↖ ↑ ↗
← N 77.936351°
W 31.975708°		 ← 127.67 m → N 77.936351°
W 31.970215°		 →
↑
127.67 m
↓
↑
127.67 m
↓
N 77.935203°
W 31.975708°		 ← 127.68 m →
16 301 m²		 N 77.935203°
W 31.970215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411186218261719 y=0.142311096191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411186218261719 × 216)
    floor (0.411186218261719 × 65536)
    floor (26947.5)     		tx = 26947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142311096191406 × 216)
    floor (0.142311096191406 × 65536)
    floor (9326.5)     		ty = 9326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26947 / 9326 ti = "16/26947/9326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26947/9326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26947 ÷ 216
    26947 ÷ 65536     		x = 0.411178588867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9326 ÷ 216
    9326 ÷ 65536     		y = 0.142303466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411178588867188 × 2 - 1) × π
    -0.177642822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55808139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142303466796875 × 2 - 1) × π
    0.71539306640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24747360178671
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55808139} λ = -0.55808139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24747360178671))-π/2
    2×atan(9.46379629063939)-π/2
    2×1.46552113402582-π/2
    2.93104226805164-1.57079632675     		φ = 1.36024594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55808139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.975708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36024594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.936351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26947 KachelY 9326 -0.55808139 1.36024594 -31.975708 77.936351
    Oben rechts KachelX + 1 26948 KachelY 9326 -0.55798551 1.36024594 -31.970215 77.936351
    Unten links KachelX 26947 KachelY + 1 9327 -0.55808139 1.36022590 -31.975708 77.935203
    Unten rechts KachelX + 1 26948 KachelY + 1 9327 -0.55798551 1.36022590 -31.970215 77.935203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36024594-1.36022590) × R
    2.00399999998879e-05 × 6371000     		dl = 127.674839999286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36024594-1.36022590) × R
    2.00399999998879e-05 × 6371000     		dr = 127.674839999286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55808139--0.55798551) × cos(1.36024594) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.208998163545465 × 6371000     		do = 127.666837519094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55808139--0.55798551) × cos(1.36022590) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.209017760940799 × 6371000     		du = 127.678808617037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36024594)-sin(1.36022590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208998163545465-0.209017760940799)×R²
    abs(-0.55798551--0.55808139)×1.95973953332762e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.95973953332762e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.95973953332762e-05×40589641000000     		ar = 16300.6072582136m²