Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 26946 / 8514
↖ ↑ ↗
← N 82.562679°
W105.990601°		 ← 39.53 m → N 82.562679°
W105.987854°		 →
↑
39.50 m
↓
↑
39.50 m
↓
N 82.562323°
W105.990601°		 ← 39.54 m →
1 562 m²		 N 82.562323°
W105.987854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.205585479736328 y=0.0649604797363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.205585479736328 × 217)
    floor (0.205585479736328 × 131072)
    floor (26946.5)     		tx = 26946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0649604797363281 × 217)
    floor (0.0649604797363281 × 131072)
    floor (8514.5)     		ty = 8514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 26946 / 8514 ti = "17/26946/8514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/26946/8514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26946 ÷ 217
    26946 ÷ 131072     		x = 0.205581665039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8514 ÷ 217
    8514 ÷ 131072     		y = 0.0649566650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.205581665039062 × 2 - 1) × π
    -0.588836669921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.84988496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0649566650390625 × 2 - 1) × π
    0.870086669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.73345789013484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.84988496} λ = -1.84988496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.73345789013484))-π/2
    2×atan(15.3859982321195)-π/2
    2×1.50589345453063-π/2
    3.01178690906126-1.57079632675     		φ = 1.44099058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.84988496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -105.990601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44099058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.562679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26946 KachelY 8514 -1.84988496 1.44099058 -105.990601 82.562679
    Oben rechts KachelX + 1 26947 KachelY 8514 -1.84983702 1.44099058 -105.987854 82.562679
    Unten links KachelX 26946 KachelY + 1 8515 -1.84988496 1.44098438 -105.990601 82.562323
    Unten rechts KachelX + 1 26947 KachelY + 1 8515 -1.84983702 1.44098438 -105.987854 82.562323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44099058-1.44098438) × R
    6.20000000006726e-06 × 6371000     		dl = 39.5002000004285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44099058-1.44098438) × R
    6.20000000006726e-06 × 6371000     		dr = 39.5002000004285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.84988496--1.84983702) × cos(1.44099058) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.129441526099166 × 6371000     		do = 39.5347738955413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.84988496--1.84983702) × cos(1.44098438) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.129447673936431 × 6371000     		du = 39.5366516032873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44099058)-sin(1.44098438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.129441526099166-0.129447673936431)×R²
    abs(-1.84983702--1.84988496)×6.1478372646584e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.1478372646584e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.1478372646584e-06×40589641000000     		ar = 1561.66856078211m²