Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26944 / 6721
↖ ↑ ↗
← N 80.588829°
W 31.992188°		 ← 99.89 m → N 80.588829°
W 31.986694°		 →
↑
99.90 m
↓
↑
99.90 m
↓
N 80.587930°
W 31.992188°		 ← 99.89 m →
9 979 m²		 N 80.587930°
W 31.986694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411140441894531 y=0.102561950683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411140441894531 × 216)
    floor (0.411140441894531 × 65536)
    floor (26944.5)     		tx = 26944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102561950683594 × 216)
    floor (0.102561950683594 × 65536)
    floor (6721.5)     		ty = 6721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26944 / 6721 ti = "16/26944/6721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26944/6721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26944 ÷ 216
    26944 ÷ 65536     		x = 0.4111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6721 ÷ 216
    6721 ÷ 65536     		y = 0.102554321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4111328125 × 2 - 1) × π
    -0.177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55836901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102554321289062 × 2 - 1) × π
    0.794891357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.49722484880721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55836901} λ = -0.55836901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49722484880721))-π/2
    2×atan(12.148732566212)-π/2
    2×1.48866836415939-π/2
    2.97733672831877-1.57079632675     		φ = 1.40654040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55836901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.992188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40654040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.588829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26944 KachelY 6721 -0.55836901 1.40654040 -31.992188 80.588829
    Oben rechts KachelX + 1 26945 KachelY 6721 -0.55827313 1.40654040 -31.986694 80.588829
    Unten links KachelX 26944 KachelY + 1 6722 -0.55836901 1.40652472 -31.992188 80.587930
    Unten rechts KachelX + 1 26945 KachelY + 1 6722 -0.55827313 1.40652472 -31.986694 80.587930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40654040-1.40652472) × R
    1.56799999999624e-05 × 6371000     		dl = 99.8972799997604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40654040-1.40652472) × R
    1.56799999999624e-05 × 6371000     		dr = 99.8972799997604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55836901--0.55827313) × cos(1.40654040) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.163518318122238 × 6371000     		do = 99.8854066321304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55836901--0.55827313) × cos(1.40652472) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.163533787054009 × 6371000     		du = 99.8948558519967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40654040)-sin(1.40652472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163518318122238-0.163533787054009)×R²
    abs(-0.55827313--0.55836901)×1.54689317709567e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.54689317709567e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.54689317709567e-05×40589641000000     		ar = 9978.75241011572m²