Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26944 / 10443
↖ ↑ ↗
← N 54.501947°
E116.015625°		 ← 709.38 m → N 54.501947°
E116.026611°		 →
↑
709.41 m
↓
↑
709.41 m
↓
N 54.495567°
E116.015625°		 ← 709.49 m →
503 278 m²		 N 54.495567°
E116.026611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822280883789062 y=0.318710327148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822280883789062 × 215)
    floor (0.822280883789062 × 32768)
    floor (26944.5)     		tx = 26944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318710327148438 × 215)
    floor (0.318710327148438 × 32768)
    floor (10443.5)     		ty = 10443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26944 / 10443 ti = "15/26944/10443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26944/10443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26944 ÷ 215
    26944 ÷ 32768     		x = 0.822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10443 ÷ 215
    10443 ÷ 32768     		y = 0.318695068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822265625 × 2 - 1) × π
    0.64453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02485464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318695068359375 × 2 - 1) × π
    0.36260986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13917248257101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02485464} λ = 2.02485464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13917248257101))-π/2
    2×atan(3.1241819801545)-π/2
    2×1.26101737977883-π/2
    2.52203475955766-1.57079632675     		φ = 0.95123843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02485464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.015625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95123843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.501947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26944 KachelY 10443 2.02485464 0.95123843 116.015625 54.501947
    Oben rechts KachelX + 1 26945 KachelY 10443 2.02504639 0.95123843 116.026611 54.501947
    Unten links KachelX 26944 KachelY + 1 10444 2.02485464 0.95112708 116.015625 54.495567
    Unten rechts KachelX + 1 26945 KachelY + 1 10444 2.02504639 0.95112708 116.026611 54.495567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95123843-0.95112708) × R
    0.000111349999999955 × 6371000     		dl = 709.41084999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95123843-0.95112708) × R
    0.000111349999999955 × 6371000     		dr = 709.41084999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02485464-2.02504639) × cos(0.95123843) × R
    0.000191749999999935 × 0.580675285491588 × 6371000     		do = 709.375720261239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02485464-2.02504639) × cos(0.95112708) × R
    0.000191749999999935 × 0.580765935852158 × 6371000     		du = 709.486462299738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95123843)-sin(0.95112708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580675285491588-0.580765935852158)×R²
    abs(2.02504639-2.02485464)×9.06503605699882e-05×R²
    0.000191749999999935×9.06503605699882e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.06503605699882e-05×40589641000000     		ar = 503278.114001952m²