Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26943 / 10440
↖ ↑ ↗
← N 54.521081°
E116.004639°		 ← 709.04 m → N 54.521081°
E116.015625°		 →
↑
709.09 m
↓
↑
709.09 m
↓
N 54.514704°
E116.004639°		 ← 709.15 m →
502 817 m²		 N 54.514704°
E116.015625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822250366210938 y=0.318618774414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822250366210938 × 215)
    floor (0.822250366210938 × 32768)
    floor (26943.5)     		tx = 26943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318618774414062 × 215)
    floor (0.318618774414062 × 32768)
    floor (10440.5)     		ty = 10440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26943 / 10440 ti = "15/26943/10440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26943/10440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26943 ÷ 215
    26943 ÷ 32768     		x = 0.822235107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10440 ÷ 215
    10440 ÷ 32768     		y = 0.318603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822235107421875 × 2 - 1) × π
    0.64447021484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02466289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318603515625 × 2 - 1) × π
    0.36279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13974772536646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02466289} λ = 2.02466289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13974772536646))-π/2
    2×atan(3.12597966033195)-π/2
    2×1.26118435530982-π/2
    2.52236871061963-1.57079632675     		φ = 0.95157238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02466289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.004639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95157238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.521081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26943 KachelY 10440 2.02466289 0.95157238 116.004639 54.521081
    Oben rechts KachelX + 1 26944 KachelY 10440 2.02485464 0.95157238 116.015625 54.521081
    Unten links KachelX 26943 KachelY + 1 10441 2.02466289 0.95146108 116.004639 54.514704
    Unten rechts KachelX + 1 26944 KachelY + 1 10441 2.02485464 0.95146108 116.015625 54.514704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95157238-0.95146108) × R
    0.000111300000000036 × 6371000     		dl = 709.092300000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95157238-0.95146108) × R
    0.000111300000000036 × 6371000     		dr = 709.092300000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02466289-2.02485464) × cos(0.95157238) × R
    0.000191749999999935 × 0.580403372649151 × 6371000     		do = 709.043540860339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02466289-2.02485464) × cos(0.95146108) × R
    0.000191749999999935 × 0.580494003885729 × 6371000     		du = 709.154259536219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95157238)-sin(0.95146108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580403372649151-0.580494003885729)×R²
    abs(2.02485464-2.02466289)×9.06312365784867e-05×R²
    0.000191749999999935×9.06312365784867e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.06312365784867e-05×40589641000000     		ar = 502816.570587821m²