Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26942 / 10454
↖ ↑ ↗
← N 54.431713°
E115.993652°		 ← 710.59 m → N 54.431713°
E116.004639°		 →
↑
710.69 m
↓
↑
710.69 m
↓
N 54.425322°
E115.993652°		 ← 710.71 m →
505 048 m²		 N 54.425322°
E116.004639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822219848632812 y=0.319046020507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822219848632812 × 215)
    floor (0.822219848632812 × 32768)
    floor (26942.5)     		tx = 26942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319046020507812 × 215)
    floor (0.319046020507812 × 32768)
    floor (10454.5)     		ty = 10454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26942 / 10454 ti = "15/26942/10454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26942/10454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26942 ÷ 215
    26942 ÷ 32768     		x = 0.82220458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10454 ÷ 215
    10454 ÷ 32768     		y = 0.31903076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82220458984375 × 2 - 1) × π
    0.6444091796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02447114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31903076171875 × 2 - 1) × π
    0.3619384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13706325898773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02447114} λ = 2.02447114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13706325898773))-π/2
    2×atan(3.11759932642816)-π/2
    2×1.26040446683693-π/2
    2.52080893367385-1.57079632675     		φ = 0.95001261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02447114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.993652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95001261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.431713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26942 KachelY 10454 2.02447114 0.95001261 115.993652 54.431713
    Oben rechts KachelX + 1 26943 KachelY 10454 2.02466289 0.95001261 116.004639 54.431713
    Unten links KachelX 26942 KachelY + 1 10455 2.02447114 0.94990106 115.993652 54.425322
    Unten rechts KachelX + 1 26943 KachelY + 1 10455 2.02466289 0.94990106 116.004639 54.425322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95001261-0.94990106) × R
    0.000111550000000071 × 6371000     		dl = 710.685050000454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95001261-0.94990106) × R
    0.000111550000000071 × 6371000     		dr = 710.685050000454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02447114-2.02466289) × cos(0.95001261) × R
    0.000191749999999935 × 0.581672832248121 × 6371000     		do = 710.59436253273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02447114-2.02466289) × cos(0.94990106) × R
    0.000191749999999935 × 0.581763565946712 × 6371000     		du = 710.705206380226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95001261)-sin(0.94990106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581672832248121-0.581763565946712)×R²
    abs(2.02466289-2.02447114)×9.07336985912499e-05×R²
    0.000191749999999935×9.07336985912499e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.07336985912499e-05×40589641000000     		ar = 505048.178123199m²