Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26940 / 9364
↖ ↑ ↗
← N 77.892647°
W 32.014160°		 ← 128.11 m → N 77.892647°
W 32.008667°		 →
↑
128.12 m
↓
↑
128.12 m
↓
N 77.891495°
W 32.014160°		 ← 128.12 m →
16 414 m²		 N 77.891495°
W 32.008667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411079406738281 y=0.142890930175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411079406738281 × 216)
    floor (0.411079406738281 × 65536)
    floor (26940.5)     		tx = 26940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142890930175781 × 216)
    floor (0.142890930175781 × 65536)
    floor (9364.5)     		ty = 9364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26940 / 9364 ti = "16/26940/9364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26940/9364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26940 ÷ 216
    26940 ÷ 65536     		x = 0.41107177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9364 ÷ 216
    9364 ÷ 65536     		y = 0.14288330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41107177734375 × 2 - 1) × π
    -0.1778564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55875250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14288330078125 × 2 - 1) × π
    0.7142333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24383039741559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55875250} λ = -0.55875250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24383039741559))-π/2
    2×atan(9.42938047661452)-π/2
    2×1.46513974355781-π/2
    2.93027948711563-1.57079632675     		φ = 1.35948316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55875250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.014160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35948316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.892647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26940 KachelY 9364 -0.55875250 1.35948316 -32.014160 77.892647
    Oben rechts KachelX + 1 26941 KachelY 9364 -0.55865663 1.35948316 -32.008667 77.892647
    Unten links KachelX 26940 KachelY + 1 9365 -0.55875250 1.35946305 -32.014160 77.891495
    Unten rechts KachelX + 1 26941 KachelY + 1 9365 -0.55865663 1.35946305 -32.008667 77.891495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35948316-1.35946305) × R
    2.01099999999066e-05 × 6371000     		dl = 128.120809999405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35948316-1.35946305) × R
    2.01099999999066e-05 × 6371000     		dr = 128.120809999405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55875250--0.55865663) × cos(1.35948316) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.209744037463751 × 6371000     		do = 128.109092913278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55875250--0.55865663) × cos(1.35946305) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.209763700101112 × 6371000     		du = 128.121102611704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35948316)-sin(1.35946305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209744037463751-0.209763700101112)×R²
    abs(-0.55865663--0.55875250)×1.96626373617226e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.96626373617226e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.96626373617226e-05×40589641000000     		ar = 16414.2100992134m²