Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26940 / 10433
↖ ↑ ↗
← N 54.565692°
E115.971680°		 ← 708.27 m → N 54.565692°
E115.982666°		 →
↑
708.26 m
↓
↑
708.26 m
↓
N 54.559323°
E115.971680°		 ← 708.38 m →
501 680 m²		 N 54.559323°
E115.982666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822158813476562 y=0.318405151367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822158813476562 × 215)
    floor (0.822158813476562 × 32768)
    floor (26940.5)     		tx = 26940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318405151367188 × 215)
    floor (0.318405151367188 × 32768)
    floor (10433.5)     		ty = 10433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26940 / 10433 ti = "15/26940/10433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26940/10433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26940 ÷ 215
    26940 ÷ 32768     		x = 0.8221435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10433 ÷ 215
    10433 ÷ 32768     		y = 0.318389892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8221435546875 × 2 - 1) × π
    0.644287109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02408765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318389892578125 × 2 - 1) × π
    0.36322021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14108995855582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02408765} λ = 2.02408765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14108995855582))-π/2
    2×atan(3.13017827110833)-π/2
    2×1.26157366080533-π/2
    2.52314732161066-1.57079632675     		φ = 0.95235099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02408765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.971680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95235099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.565692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26940 KachelY 10433 2.02408765 0.95235099 115.971680 54.565692
    Oben rechts KachelX + 1 26941 KachelY 10433 2.02427940 0.95235099 115.982666 54.565692
    Unten links KachelX 26940 KachelY + 1 10434 2.02408765 0.95223982 115.971680 54.559323
    Unten rechts KachelX + 1 26941 KachelY + 1 10434 2.02427940 0.95223982 115.982666 54.559323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95235099-0.95223982) × R
    0.000111170000000049 × 6371000     		dl = 708.264070000314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95235099-0.95223982) × R
    0.000111170000000049 × 6371000     		dr = 708.264070000314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02408765-2.02427940) × cos(0.95235099) × R
    0.000191750000000379 × 0.579769151982642 × 6371000     		do = 708.268752002612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02408765-2.02427940) × cos(0.95223982) × R
    0.000191750000000379 × 0.579859727579899 × 6371000     		du = 708.379402707313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95235099)-sin(0.95223982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579769151982642-0.579859727579899)×R²
    abs(2.02427940-2.02408765)×9.05755972566702e-05×R²
    0.000191750000000379×9.05755972566702e-05×6371000²
    0.000191750000000379×9.05755972566702e-05×40589641000000     		ar = 501680.494423478m²