Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26939 / 11581
↖ ↑ ↗
← N 46.581519°
E115.960693°		 ← 839.66 m → N 46.581519°
E115.971680°		 →
↑
839.70 m
↓
↑
839.70 m
↓
N 46.573967°
E115.960693°		 ← 839.78 m →
705 109 m²		 N 46.573967°
E115.971680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822128295898438 y=0.353439331054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822128295898438 × 215)
    floor (0.822128295898438 × 32768)
    floor (26939.5)     		tx = 26939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353439331054688 × 215)
    floor (0.353439331054688 × 32768)
    floor (11581.5)     		ty = 11581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26939 / 11581 ti = "15/26939/11581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26939/11581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26939 ÷ 215
    26939 ÷ 32768     		x = 0.822113037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11581 ÷ 215
    11581 ÷ 32768     		y = 0.353424072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822113037109375 × 2 - 1) × π
    0.64422607421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02389590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353424072265625 × 2 - 1) × π
    0.29315185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.920963715500519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02389590} λ = 2.02389590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.920963715500519))-π/2
    2×atan(2.51170979760347)-π/2
    2×1.19189859729054-π/2
    2.38379719458107-1.57079632675     		φ = 0.81300087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02389590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.960693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81300087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.581519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26939 KachelY 11581 2.02389590 0.81300087 115.960693 46.581519
    Oben rechts KachelX + 1 26940 KachelY 11581 2.02408765 0.81300087 115.971680 46.581519
    Unten links KachelX 26939 KachelY + 1 11582 2.02389590 0.81286907 115.960693 46.573967
    Unten rechts KachelX + 1 26940 KachelY + 1 11582 2.02408765 0.81286907 115.971680 46.573967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81300087-0.81286907) × R
    0.000131800000000015 × 6371000     		dl = 839.697800000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81300087-0.81286907) × R
    0.000131800000000015 × 6371000     		dr = 839.697800000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02389590-2.02408765) × cos(0.81300087) × R
    0.000191749999999935 × 0.687321840020452 × 6371000     		do = 839.65933715092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02389590-2.02408765) × cos(0.81286907) × R
    0.000191749999999935 × 0.68741756737645 × 6371000     		du = 839.776281446306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81300087)-sin(0.81286907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687321840020452-0.68741756737645)×R²
    abs(2.02408765-2.02389590)×9.57273559980543e-05×R²
    0.000191749999999935×9.57273559980543e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.57273559980543e-05×40589641000000     		ar = 705109.198109238m²