Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26939 / 10444
↖ ↑ ↗
← N 54.495567°
E115.960693°		 ← 709.49 m → N 54.495567°
E115.971680°		 →
↑
709.54 m
↓
↑
709.54 m
↓
N 54.489186°
E115.960693°		 ← 709.60 m →
503 447 m²		 N 54.489186°
E115.971680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822128295898438 y=0.318740844726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822128295898438 × 215)
    floor (0.822128295898438 × 32768)
    floor (26939.5)     		tx = 26939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318740844726562 × 215)
    floor (0.318740844726562 × 32768)
    floor (10444.5)     		ty = 10444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26939 / 10444 ti = "15/26939/10444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26939/10444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26939 ÷ 215
    26939 ÷ 32768     		x = 0.822113037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10444 ÷ 215
    10444 ÷ 32768     		y = 0.3187255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822113037109375 × 2 - 1) × π
    0.64422607421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02389590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3187255859375 × 2 - 1) × π
    0.362548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13898073497253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02389590} λ = 2.02389590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13898073497253))-π/2
    2×atan(3.12358298319254)-π/2
    2×1.26096170388779-π/2
    2.52192340777558-1.57079632675     		φ = 0.95112708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02389590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.960693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95112708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.495567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26939 KachelY 10444 2.02389590 0.95112708 115.960693 54.495567
    Oben rechts KachelX + 1 26940 KachelY 10444 2.02408765 0.95112708 115.971680 54.495567
    Unten links KachelX 26939 KachelY + 1 10445 2.02389590 0.95101571 115.960693 54.489186
    Unten rechts KachelX + 1 26940 KachelY + 1 10445 2.02408765 0.95101571 115.971680 54.489186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95112708-0.95101571) × R
    0.000111370000000055 × 6371000     		dl = 709.538270000351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95112708-0.95101571) × R
    0.000111370000000055 × 6371000     		dr = 709.538270000351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02389590-2.02408765) × cos(0.95112708) × R
    0.000191749999999935 × 0.580765935852158 × 6371000     		do = 709.486462299738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02389590-2.02408765) × cos(0.95101571) × R
    0.000191749999999935 × 0.580856595292032 × 6371000     		du = 709.597215429871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95112708)-sin(0.95101571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580765935852158-0.580856595292032)×R²
    abs(2.02408765-2.02389590)×9.06594398745186e-05×R²
    0.000191749999999935×9.06594398745186e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.06594398745186e-05×40589641000000     		ar = 503447.089361375m²