Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26938 / 5834
↖ ↑ ↗
← N 81.353032°
W 32.025147°		 ← 91.83 m → N 81.353032°
W 32.019654°		 →
↑
91.81 m
↓
↑
91.81 m
↓
N 81.352207°
W 32.025147°		 ← 91.84 m →
8 431 m²		 N 81.352207°
W 32.019654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411048889160156 y=0.0890274047851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411048889160156 × 216)
    floor (0.411048889160156 × 65536)
    floor (26938.5)     		tx = 26938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0890274047851562 × 216)
    floor (0.0890274047851562 × 65536)
    floor (5834.5)     		ty = 5834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26938 / 5834 ti = "16/26938/5834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26938/5834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26938 ÷ 216
    26938 ÷ 65536     		x = 0.411041259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5834 ÷ 216
    5834 ÷ 65536     		y = 0.089019775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411041259765625 × 2 - 1) × π
    -0.17791748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55894425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.089019775390625 × 2 - 1) × π
    0.82196044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58226490873319
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55894425} λ = -0.55894425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58226490873319))-π/2
    2×atan(13.227062348115)-π/2
    2×1.49533729959384-π/2
    2.99067459918768-1.57079632675     		φ = 1.41987827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55894425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.025147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41987827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.353032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26938 KachelY 5834 -0.55894425 1.41987827 -32.025147 81.353032
    Oben rechts KachelX + 1 26939 KachelY 5834 -0.55884838 1.41987827 -32.019654 81.353032
    Unten links KachelX 26938 KachelY + 1 5835 -0.55894425 1.41986386 -32.025147 81.352207
    Unten rechts KachelX + 1 26939 KachelY + 1 5835 -0.55884838 1.41986386 -32.019654 81.352207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41987827-1.41986386) × R
    1.44100000001313e-05 × 6371000     		dl = 91.8061100008363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41987827-1.41986386) × R
    1.44100000001313e-05 × 6371000     		dr = 91.8061100008363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55894425--0.55884838) × cos(1.41987827) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150345817377445 × 6371000     		do = 91.8293865247951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55894425--0.55884838) × cos(1.41986386) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150360063570118 × 6371000     		du = 91.8380879250484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41987827)-sin(1.41986386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150345817377445-0.150360063570118)×R²
    abs(-0.55884838--0.55894425)×1.42461926723736e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.42461926723736e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.42461926723736e-05×40589641000000     		ar = 8430.89818153039m²