Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26938 / 10456
↖ ↑ ↗
← N 54.418930°
E115.949707°		 ← 710.82 m → N 54.418930°
E115.960693°		 →
↑
710.81 m
↓
↑
710.81 m
↓
N 54.412537°
E115.949707°		 ← 710.93 m →
505 296 m²		 N 54.412537°
E115.960693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822097778320312 y=0.319107055664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822097778320312 × 215)
    floor (0.822097778320312 × 32768)
    floor (26938.5)     		tx = 26938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319107055664062 × 215)
    floor (0.319107055664062 × 32768)
    floor (10456.5)     		ty = 10456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26938 / 10456 ti = "15/26938/10456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26938/10456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26938 ÷ 215
    26938 ÷ 32768     		x = 0.82208251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10456 ÷ 215
    10456 ÷ 32768     		y = 0.319091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82208251953125 × 2 - 1) × π
    0.6441650390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02370415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319091796875 × 2 - 1) × π
    0.36181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13667976379077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02370415} λ = 2.02370415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13667976379077))-π/2
    2×atan(3.11640397128155)-π/2
    2×1.26029291507065-π/2
    2.52058583014129-1.57079632675     		φ = 0.94978950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02370415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.949707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94978950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.418930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26938 KachelY 10456 2.02370415 0.94978950 115.949707 54.418930
    Oben rechts KachelX + 1 26939 KachelY 10456 2.02389590 0.94978950 115.960693 54.418930
    Unten links KachelX 26938 KachelY + 1 10457 2.02370415 0.94967793 115.949707 54.412537
    Unten rechts KachelX + 1 26939 KachelY + 1 10457 2.02389590 0.94967793 115.960693 54.412537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94978950-0.94967793) × R
    0.00011156999999995 × 6371000     		dl = 710.81246999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94978950-0.94967793) × R
    0.00011156999999995 × 6371000     		dr = 710.81246999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02370415-2.02389590) × cos(0.94978950) × R
    0.000191749999999935 × 0.581854300539116 × 6371000     		do = 710.816051319639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02370415-2.02389590) × cos(0.94967793) × R
    0.000191749999999935 × 0.581945036022255 × 6371000     		du = 710.92689734721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94978950)-sin(0.94967793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581854300539116-0.581945036022255)×R²
    abs(2.02389590-2.02370415)×9.07354831392038e-05×R²
    0.000191749999999935×9.07354831392038e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.07354831392038e-05×40589641000000     		ar = 505296.309047382m²