Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26938 / 10410
↖ ↑ ↗
← N 54.711929°
E115.949707°		 ← 705.73 m → N 54.711929°
E115.960693°		 →
↑
705.78 m
↓
↑
705.78 m
↓
N 54.705582°
E115.949707°		 ← 705.84 m →
498 126 m²		 N 54.705582°
E115.960693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822097778320312 y=0.317703247070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822097778320312 × 215)
    floor (0.822097778320312 × 32768)
    floor (26938.5)     		tx = 26938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317703247070312 × 215)
    floor (0.317703247070312 × 32768)
    floor (10410.5)     		ty = 10410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26938 / 10410 ti = "15/26938/10410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26938/10410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26938 ÷ 215
    26938 ÷ 32768     		x = 0.82208251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10410 ÷ 215
    10410 ÷ 32768     		y = 0.31768798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82208251953125 × 2 - 1) × π
    0.6441650390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02370415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31768798828125 × 2 - 1) × π
    0.3646240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14550015332086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02370415} λ = 2.02370415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14550015332086))-π/2
    2×atan(3.14401345243105)-π/2
    2×1.26284981264877-π/2
    2.52569962529754-1.57079632675     		φ = 0.95490330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02370415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.949707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95490330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.711929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26938 KachelY 10410 2.02370415 0.95490330 115.949707 54.711929
    Oben rechts KachelX + 1 26939 KachelY 10410 2.02389590 0.95490330 115.960693 54.711929
    Unten links KachelX 26938 KachelY + 1 10411 2.02370415 0.95479252 115.949707 54.705582
    Unten rechts KachelX + 1 26939 KachelY + 1 10411 2.02389590 0.95479252 115.960693 54.705582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95490330-0.95479252) × R
    0.000110779999999977 × 6371000     		dl = 705.779379999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95490330-0.95479252) × R
    0.000110779999999977 × 6371000     		dr = 705.779379999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02370415-2.02389590) × cos(0.95490330) × R
    0.000191749999999935 × 0.577687692700602 × 6371000     		do = 705.725959644754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02370415-2.02389590) × cos(0.95479252) × R
    0.000191749999999935 × 0.577778114203817 × 6371000     		du = 705.836422102127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95490330)-sin(0.95479252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577687692700602-0.577778114203817)×R²
    abs(2.02389590-2.02370415)×9.04215032158096e-05×R²
    0.000191749999999935×9.04215032158096e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.04215032158096e-05×40589641000000     		ar = 498125.811820192m²