Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26937 / 10460
↖ ↑ ↗
← N 54.393352°
E115.938721°		 ← 711.22 m → N 54.393352°
E115.949707°		 →
↑
711.32 m
↓
↑
711.32 m
↓
N 54.386955°
E115.938721°		 ← 711.33 m →
505 948 m²		 N 54.386955°
E115.949707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822067260742188 y=0.319229125976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822067260742188 × 215)
    floor (0.822067260742188 × 32768)
    floor (26937.5)     		tx = 26937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319229125976562 × 215)
    floor (0.319229125976562 × 32768)
    floor (10460.5)     		ty = 10460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26937 / 10460 ti = "15/26937/10460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26937/10460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26937 ÷ 215
    26937 ÷ 32768     		x = 0.822052001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10460 ÷ 215
    10460 ÷ 32768     		y = 0.3192138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822052001953125 × 2 - 1) × π
    0.64410400390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02351241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3192138671875 × 2 - 1) × π
    0.361572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13591277339685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02351241} λ = 2.02351241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13591277339685))-π/2
    2×atan(3.11401463578782)-π/2
    2×1.26006970713954-π/2
    2.52013941427908-1.57079632675     		φ = 0.94934309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02351241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.938721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94934309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.393352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26937 KachelY 10460 2.02351241 0.94934309 115.938721 54.393352
    Oben rechts KachelX + 1 26938 KachelY 10460 2.02370415 0.94934309 115.949707 54.393352
    Unten links KachelX 26937 KachelY + 1 10461 2.02351241 0.94923144 115.938721 54.386955
    Unten rechts KachelX + 1 26938 KachelY + 1 10461 2.02370415 0.94923144 115.949707 54.386955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94934309-0.94923144) × R
    0.000111649999999908 × 6371000     		dl = 711.322149999412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94934309-0.94923144) × R
    0.000111649999999908 × 6371000     		dr = 711.322149999412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02351241-2.02370415) × cos(0.94934309) × R
    0.000191739999999996 × 0.582217304697639 × 6371000     		do = 711.222418383347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02351241-2.02370415) × cos(0.94923144) × R
    0.000191739999999996 × 0.582308076227123 × 6371000     		du = 711.333302663493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94934309)-sin(0.94923144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582217304697639-0.582308076227123)×R²
    abs(2.02370415-2.02351241)×9.07715294837796e-05×R²
    0.000191739999999996×9.07715294837796e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.07715294837796e-05×40589641000000     		ar = 505947.697520502m²