Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26937 / 10435
↖ ↑ ↗
← N 54.552951°
E115.938721°		 ← 708.45 m → N 54.552951°
E115.949707°		 →
↑
708.52 m
↓
↑
708.52 m
↓
N 54.546580°
E115.938721°		 ← 708.56 m →
501 992 m²		 N 54.546580°
E115.949707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822067260742188 y=0.318466186523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822067260742188 × 215)
    floor (0.822067260742188 × 32768)
    floor (26937.5)     		tx = 26937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318466186523438 × 215)
    floor (0.318466186523438 × 32768)
    floor (10435.5)     		ty = 10435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26937 / 10435 ti = "15/26937/10435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26937/10435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26937 ÷ 215
    26937 ÷ 32768     		x = 0.822052001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10435 ÷ 215
    10435 ÷ 32768     		y = 0.318450927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822052001953125 × 2 - 1) × π
    0.64410400390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02351241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318450927734375 × 2 - 1) × π
    0.36309814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14070646335886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02351241} λ = 2.02351241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14070646335886))-π/2
    2×atan(3.12897809292173)-π/2
    2×1.26146247409439-π/2
    2.52292494818877-1.57079632675     		φ = 0.95212862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02351241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.938721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95212862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.552951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26937 KachelY 10435 2.02351241 0.95212862 115.938721 54.552951
    Oben rechts KachelX + 1 26938 KachelY 10435 2.02370415 0.95212862 115.949707 54.552951
    Unten links KachelX 26937 KachelY + 1 10436 2.02351241 0.95201741 115.938721 54.546580
    Unten rechts KachelX + 1 26938 KachelY + 1 10436 2.02370415 0.95201741 115.949707 54.546580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95212862-0.95201741) × R
    0.000111210000000028 × 6371000     		dl = 708.51891000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95212862-0.95201741) × R
    0.000111210000000028 × 6371000     		dr = 708.51891000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02351241-2.02370415) × cos(0.95212862) × R
    0.000191739999999996 × 0.579950320450359 × 6371000     		do = 708.453125877305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02351241-2.02370415) × cos(0.95201741) × R
    0.000191739999999996 × 0.580040914295352 × 6371000     		du = 708.563793102422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95212862)-sin(0.95201741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579950320450359-0.580040914295352)×R²
    abs(2.02370415-2.02351241)×9.05938449925481e-05×R²
    0.000191739999999996×9.05938449925481e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.05938449925481e-05×40589641000000     		ar = 501991.641961179m²