Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26937 / 10411
↖ ↑ ↗
← N 54.705582°
E115.938721°		 ← 705.80 m → N 54.705582°
E115.949707°		 →
↑
705.91 m
↓
↑
705.91 m
↓
N 54.699233°
E115.938721°		 ← 705.91 m →
498 268 m²		 N 54.699233°
E115.949707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822067260742188 y=0.317733764648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822067260742188 × 215)
    floor (0.822067260742188 × 32768)
    floor (26937.5)     		tx = 26937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317733764648438 × 215)
    floor (0.317733764648438 × 32768)
    floor (10411.5)     		ty = 10411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26937 / 10411 ti = "15/26937/10411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26937/10411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26937 ÷ 215
    26937 ÷ 32768     		x = 0.822052001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10411 ÷ 215
    10411 ÷ 32768     		y = 0.317718505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822052001953125 × 2 - 1) × π
    0.64410400390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02351241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317718505859375 × 2 - 1) × π
    0.36456298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14530840572238
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02351241} λ = 2.02351241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14530840572238))-π/2
    2×atan(3.14341065319645)-π/2
    2×1.26279442320035-π/2
    2.5255888464007-1.57079632675     		φ = 0.95479252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02351241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.938721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95479252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.705582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26937 KachelY 10411 2.02351241 0.95479252 115.938721 54.705582
    Oben rechts KachelX + 1 26938 KachelY 10411 2.02370415 0.95479252 115.949707 54.705582
    Unten links KachelX 26937 KachelY + 1 10412 2.02351241 0.95468172 115.938721 54.699233
    Unten rechts KachelX + 1 26938 KachelY + 1 10412 2.02370415 0.95468172 115.949707 54.699233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95479252-0.95468172) × R
    0.000110800000000078 × 6371000     		dl = 705.906800000494m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95479252-0.95468172) × R
    0.000110800000000078 × 6371000     		dr = 705.906800000494m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02351241-2.02370415) × cos(0.95479252) × R
    0.000191739999999996 × 0.577778114203817 × 6371000     		do = 705.799611858694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02351241-2.02370415) × cos(0.95468172) × R
    0.000191739999999996 × 0.577868544939017 × 6371000     		du = 705.910079832879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95479252)-sin(0.95468172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577778114203817-0.577868544939017)×R²
    abs(2.02370415-2.02351241)×9.04307351997646e-05×R²
    0.000191739999999996×9.04307351997646e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.04307351997646e-05×40589641000000     		ar = 498267.736005774m²