Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26936 / 5416
↖ ↑ ↗
← N 81.691497°
W 32.036133°		 ← 88.27 m → N 81.691497°
W 32.030639°		 →
↑
88.30 m
↓
↑
88.30 m
↓
N 81.690703°
W 32.036133°		 ← 88.28 m →
7 795 m²		 N 81.690703°
W 32.030639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411018371582031 y=0.0826492309570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411018371582031 × 216)
    floor (0.411018371582031 × 65536)
    floor (26936.5)     		tx = 26936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0826492309570312 × 216)
    floor (0.0826492309570312 × 65536)
    floor (5416.5)     		ty = 5416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26936 / 5416 ti = "16/26936/5416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26936/5416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26936 ÷ 216
    26936 ÷ 65536     		x = 0.4110107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5416 ÷ 216
    5416 ÷ 65536     		y = 0.0826416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4110107421875 × 2 - 1) × π
    -0.177978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55913600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0826416015625 × 2 - 1) × π
    0.834716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.62234015681555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55913600} λ = -0.55913600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62234015681555))-π/2
    2×atan(13.7679049723021)-π/2
    2×1.49829095690226-π/2
    2.99658191380451-1.57079632675     		φ = 1.42578559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55913600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.036133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42578559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.691497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26936 KachelY 5416 -0.55913600 1.42578559 -32.036133 81.691497
    Oben rechts KachelX + 1 26937 KachelY 5416 -0.55904012 1.42578559 -32.030639 81.691497
    Unten links KachelX 26936 KachelY + 1 5417 -0.55913600 1.42577173 -32.036133 81.690703
    Unten rechts KachelX + 1 26937 KachelY + 1 5417 -0.55904012 1.42577173 -32.030639 81.690703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42578559-1.42577173) × R
    1.38600000001432e-05 × 6371000     		dl = 88.3020600009123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42578559-1.42577173) × R
    1.38600000001432e-05 × 6371000     		dr = 88.3020600009123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55913600--0.55904012) × cos(1.42578559) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.144503053824158 × 6371000     		do = 88.2699042929487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55913600--0.55904012) × cos(1.42577173) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.144516768340631 × 6371000     		du = 88.2782818256335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42578559)-sin(1.42577173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144503053824158-0.144516768340631)×R²
    abs(-0.55904012--0.55913600)×1.37145164726127e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.37145164726127e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.37145164726127e-05×40589641000000     		ar = 7794.78426186223m²