Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26935 / 10408
↖ ↑ ↗
← N 54.724620°
E115.916748°		 ← 705.51 m → N 54.724620°
E115.927734°		 →
↑
705.52 m
↓
↑
705.52 m
↓
N 54.718275°
E115.916748°		 ← 705.62 m →
497 790 m²		 N 54.718275°
E115.927734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822006225585938 y=0.317642211914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822006225585938 × 215)
    floor (0.822006225585938 × 32768)
    floor (26935.5)     		tx = 26935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317642211914062 × 215)
    floor (0.317642211914062 × 32768)
    floor (10408.5)     		ty = 10408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26935 / 10408 ti = "15/26935/10408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26935/10408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26935 ÷ 215
    26935 ÷ 32768     		x = 0.821990966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10408 ÷ 215
    10408 ÷ 32768     		y = 0.317626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821990966796875 × 2 - 1) × π
    0.64398193359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02312891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317626953125 × 2 - 1) × π
    0.36474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14588364851782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02312891} λ = 2.02312891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14588364851782))-π/2
    2×atan(3.14521939771157)-π/2
    2×1.2629605655404-π/2
    2.5259211310808-1.57079632675     		φ = 0.95512480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02312891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.916748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95512480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.724620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26935 KachelY 10408 2.02312891 0.95512480 115.916748 54.724620
    Oben rechts KachelX + 1 26936 KachelY 10408 2.02332066 0.95512480 115.927734 54.724620
    Unten links KachelX 26935 KachelY + 1 10409 2.02312891 0.95501406 115.916748 54.718275
    Unten rechts KachelX + 1 26936 KachelY + 1 10409 2.02332066 0.95501406 115.927734 54.718275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95512480-0.95501406) × R
    0.000110739999999998 × 6371000     		dl = 705.524539999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95512480-0.95501406) × R
    0.000110739999999998 × 6371000     		dr = 705.524539999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02312891-2.02332066) × cos(0.95512480) × R
    0.000191749999999935 × 0.577506877409919 × 6371000     		do = 705.505068588656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02312891-2.02332066) × cos(0.95501406) × R
    0.000191749999999935 × 0.577597280434319 × 6371000     		du = 705.615508471583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95512480)-sin(0.95501406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577506877409919-0.577597280434319)×R²
    abs(2.02332066-2.02312891)×9.04030244007759e-05×R²
    0.000191749999999935×9.04030244007759e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.04030244007759e-05×40589641000000     		ar = 497790.098516311m²