Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26934 / 5885
↖ ↑ ↗
← N 81.310811°
W 32.047119°		 ← 92.27 m → N 81.310811°
W 32.041626°		 →
↑
92.32 m
↓
↑
92.32 m
↓
N 81.309981°
W 32.047119°		 ← 92.28 m →
8 519 m²		 N 81.309981°
W 32.041626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410987854003906 y=0.0898056030273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410987854003906 × 216)
    floor (0.410987854003906 × 65536)
    floor (26934.5)     		tx = 26934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0898056030273438 × 216)
    floor (0.0898056030273438 × 65536)
    floor (5885.5)     		ty = 5885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26934 / 5885 ti = "16/26934/5885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26934/5885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26934 ÷ 216
    26934 ÷ 65536     		x = 0.410980224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5885 ÷ 216
    5885 ÷ 65536     		y = 0.0897979736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410980224609375 × 2 - 1) × π
    -0.17803955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55932774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0897979736328125 × 2 - 1) × π
    0.820404052734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.57737534497194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55932774} λ = -0.55932774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57737534497194))-π/2
    2×atan(13.1625456412038)-π/2
    2×1.49496884707294-π/2
    2.98993769414589-1.57079632675     		φ = 1.41914137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55932774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.047119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41914137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.310811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26934 KachelY 5885 -0.55932774 1.41914137 -32.047119 81.310811
    Oben rechts KachelX + 1 26935 KachelY 5885 -0.55923187 1.41914137 -32.041626 81.310811
    Unten links KachelX 26934 KachelY + 1 5886 -0.55932774 1.41912688 -32.047119 81.309981
    Unten rechts KachelX + 1 26935 KachelY + 1 5886 -0.55923187 1.41912688 -32.041626 81.309981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41914137-1.41912688) × R
    1.44899999998671e-05 × 6371000     		dl = 92.3157899991534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41914137-1.41912688) × R
    1.44899999998671e-05 × 6371000     		dr = 92.3157899991534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55932774--0.55923187) × cos(1.41914137) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151074300493996 × 6371000     		do = 92.2743351030359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55932774--0.55923187) × cos(1.41912688) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151088624167862 × 6371000     		du = 92.2830838278542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41914137)-sin(1.41912688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151074300493996-0.151088624167862)×R²
    abs(-0.55923187--0.55932774)×1.43236738653074e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.43236738653074e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.43236738653074e-05×40589641000000     		ar = 8518.78196453508m²