Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26934 / 5410
↖ ↑ ↗
← N 81.696258°
W 32.047119°		 ← 88.21 m → N 81.696258°
W 32.041626°		 →
↑
88.24 m
↓
↑
88.24 m
↓
N 81.695465°
W 32.047119°		 ← 88.22 m →
7 784 m²		 N 81.695465°
W 32.041626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410987854003906 y=0.0825576782226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410987854003906 × 216)
    floor (0.410987854003906 × 65536)
    floor (26934.5)     		tx = 26934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0825576782226562 × 216)
    floor (0.0825576782226562 × 65536)
    floor (5410.5)     		ty = 5410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26934 / 5410 ti = "16/26934/5410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26934/5410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26934 ÷ 216
    26934 ÷ 65536     		x = 0.410980224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5410 ÷ 216
    5410 ÷ 65536     		y = 0.082550048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410980224609375 × 2 - 1) × π
    -0.17803955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55932774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.082550048828125 × 2 - 1) × π
    0.83489990234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62291539961099
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55932774} λ = -0.55932774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62291539961099))-π/2
    2×atan(13.7758271388118)-π/2
    2×1.49833250724692-π/2
    2.99666501449383-1.57079632675     		φ = 1.42586869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55932774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.047119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42586869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.696258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26934 KachelY 5410 -0.55932774 1.42586869 -32.047119 81.696258
    Oben rechts KachelX + 1 26935 KachelY 5410 -0.55923187 1.42586869 -32.041626 81.696258
    Unten links KachelX 26934 KachelY + 1 5411 -0.55932774 1.42585484 -32.047119 81.695465
    Unten rechts KachelX + 1 26935 KachelY + 1 5411 -0.55923187 1.42585484 -32.041626 81.695465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42586869-1.42585484) × R
    1.38499999999819e-05 × 6371000     		dl = 88.2383499998849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42586869-1.42585484) × R
    1.38499999999819e-05 × 6371000     		dr = 88.2383499998849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55932774--0.55923187) × cos(1.42586869) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144420825513459 × 6371000     		do = 88.2104739569227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55932774--0.55923187) × cos(1.42585484) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144434530301182 × 6371000     		du = 88.2188446736544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42586869)-sin(1.42585484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144420825513459-0.144434530301182)×R²
    abs(-0.55923187--0.55932774)×1.370478772314e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.370478772314e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.370478772314e-05×40589641000000     		ar = 7783.9159840397m²