Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26933 / 5877
↖ ↑ ↗
← N 81.317448°
W 32.052612°		 ← 92.21 m → N 81.317448°
W 32.047119°		 →
↑
92.25 m
↓
↑
92.25 m
↓
N 81.316618°
W 32.052612°		 ← 92.22 m →
8 507 m²		 N 81.316618°
W 32.047119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410972595214844 y=0.0896835327148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410972595214844 × 216)
    floor (0.410972595214844 × 65536)
    floor (26933.5)     		tx = 26933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0896835327148438 × 216)
    floor (0.0896835327148438 × 65536)
    floor (5877.5)     		ty = 5877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26933 / 5877 ti = "16/26933/5877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26933/5877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26933 ÷ 216
    26933 ÷ 65536     		x = 0.410964965820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5877 ÷ 216
    5877 ÷ 65536     		y = 0.0896759033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410964965820312 × 2 - 1) × π
    -0.178070068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55942362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0896759033203125 × 2 - 1) × π
    0.820648193359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.57814233536586
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55942362} λ = -0.55942362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57814233536586))-π/2
    2×atan(13.1726450598536)-π/2
    2×1.49502676138472-π/2
    2.99005352276945-1.57079632675     		φ = 1.41925720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55942362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.052612°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41925720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.317448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26933 KachelY 5877 -0.55942362 1.41925720 -32.052612 81.317448
    Oben rechts KachelX + 1 26934 KachelY 5877 -0.55932774 1.41925720 -32.047119 81.317448
    Unten links KachelX 26933 KachelY + 1 5878 -0.55942362 1.41924272 -32.052612 81.316618
    Unten rechts KachelX + 1 26934 KachelY + 1 5878 -0.55932774 1.41924272 -32.047119 81.316618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41925720-1.41924272) × R
    1.44800000001499e-05 × 6371000     		dl = 92.2520800009552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41925720-1.41924272) × R
    1.44800000001499e-05 × 6371000     		dr = 92.2520800009552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55942362--0.55932774) × cos(1.41925720) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.150959798930012 × 6371000     		do = 92.2140165969468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55942362--0.55932774) × cos(1.41924272) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.150974112971976 × 6371000     		du = 92.2227603506652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41925720)-sin(1.41924272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150959798930012-0.150974112971976)×R²
    abs(-0.55932774--0.55942362)×1.43140419639198e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.43140419639198e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.43140419639198e-05×40589641000000     		ar = 8507.33815123493m²