Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26932 / 5876
↖ ↑ ↗
← N 81.318277°
W 32.058105°		 ← 92.20 m → N 81.318277°
W 32.052612°		 →
↑
92.19 m
↓
↑
92.19 m
↓
N 81.317448°
W 32.058105°		 ← 92.20 m →
8 500 m²		 N 81.317448°
W 32.052612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410957336425781 y=0.0896682739257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410957336425781 × 216)
    floor (0.410957336425781 × 65536)
    floor (26932.5)     		tx = 26932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0896682739257812 × 216)
    floor (0.0896682739257812 × 65536)
    floor (5876.5)     		ty = 5876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26932 / 5876 ti = "16/26932/5876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26932/5876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26932 ÷ 216
    26932 ÷ 65536     		x = 0.41094970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5876 ÷ 216
    5876 ÷ 65536     		y = 0.08966064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41094970703125 × 2 - 1) × π
    -0.1781005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55951949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08966064453125 × 2 - 1) × π
    0.8206787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.5782382091651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55951949} λ = -0.55951949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5782382091651))-π/2
    2×atan(13.1739080319235)-π/2
    2×1.49503399758673-π/2
    2.99006799517346-1.57079632675     		φ = 1.41927167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55951949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.058105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41927167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.318277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26932 KachelY 5876 -0.55951949 1.41927167 -32.058105 81.318277
    Oben rechts KachelX + 1 26933 KachelY 5876 -0.55942362 1.41927167 -32.052612 81.318277
    Unten links KachelX 26932 KachelY + 1 5877 -0.55951949 1.41925720 -32.058105 81.317448
    Unten rechts KachelX + 1 26933 KachelY + 1 5877 -0.55942362 1.41925720 -32.052612 81.317448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41927167-1.41925720) × R
    1.44699999999887e-05 × 6371000     		dl = 92.1883699999277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41927167-1.41925720) × R
    1.44699999999887e-05 × 6371000     		dr = 92.1883699999277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55951949--0.55942362) × cos(1.41927167) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150945494741818 × 6371000     		do = 92.1956621248995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55951949--0.55942362) × cos(1.41925720) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150959798930012 × 6371000     		du = 92.2043989481086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41927167)-sin(1.41925720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150945494741818-0.150959798930012)×R²
    abs(-0.55942362--0.55951949)×1.43041881947026e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.43041881947026e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.43041881947026e-05×40589641000000     		ar = 8499.77052948154m²