Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26932 / 11605
↖ ↑ ↗
← N 46.399988°
E115.883789°		 ← 842.47 m → N 46.399988°
E115.894776°		 →
↑
842.56 m
↓
↑
842.56 m
↓
N 46.392411°
E115.883789°		 ← 842.58 m →
709 882 m²		 N 46.392411°
E115.894776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821914672851562 y=0.354171752929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821914672851562 × 215)
    floor (0.821914672851562 × 32768)
    floor (26932.5)     		tx = 26932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.354171752929688 × 215)
    floor (0.354171752929688 × 32768)
    floor (11605.5)     		ty = 11605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26932 / 11605 ti = "15/26932/11605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26932/11605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26932 ÷ 215
    26932 ÷ 32768     		x = 0.8218994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11605 ÷ 215
    11605 ÷ 32768     		y = 0.354156494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8218994140625 × 2 - 1) × π
    0.643798828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02255367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.354156494140625 × 2 - 1) × π
    0.29168701171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.916361773136993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02255367} λ = 2.02255367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.916361773136993))-π/2
    2×atan(2.50017760946582)-π/2
    2×1.19031444603961-π/2
    2.38062889207922-1.57079632675     		φ = 0.80983257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02255367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.883789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80983257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.399988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26932 KachelY 11605 2.02255367 0.80983257 115.883789 46.399988
    Oben rechts KachelX + 1 26933 KachelY 11605 2.02274542 0.80983257 115.894776 46.399988
    Unten links KachelX 26932 KachelY + 1 11606 2.02255367 0.80970032 115.883789 46.392411
    Unten rechts KachelX + 1 26933 KachelY + 1 11606 2.02274542 0.80970032 115.894776 46.392411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80983257-0.80970032) × R
    0.000132249999999945 × 6371000     		dl = 842.564749999649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80983257-0.80970032) × R
    0.000132249999999945 × 6371000     		dr = 842.564749999649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02255367-2.02274542) × cos(0.80983257) × R
    0.000191749999999935 × 0.689619690688498 × 6371000     		do = 842.466481717643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02255367-2.02274542) × cos(0.80970032) × R
    0.000191749999999935 × 0.689715456367641 × 6371000     		du = 842.583472830087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80983257)-sin(0.80970032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689619690688498-0.689715456367641)×R²
    abs(2.02274542-2.02255367)×9.5765679142934e-05×R²
    0.000191749999999935×9.5765679142934e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.5765679142934e-05×40589641000000     		ar = 709881.847880422m²