Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26931 / 5879
↖ ↑ ↗
← N 81.315789°
W 32.063599°		 ← 92.23 m → N 81.315789°
W 32.058105°		 →
↑
92.25 m
↓
↑
92.25 m
↓
N 81.314959°
W 32.063599°		 ← 92.24 m →
8 509 m²		 N 81.314959°
W 32.058105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410942077636719 y=0.0897140502929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410942077636719 × 216)
    floor (0.410942077636719 × 65536)
    floor (26931.5)     		tx = 26931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0897140502929688 × 216)
    floor (0.0897140502929688 × 65536)
    floor (5879.5)     		ty = 5879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26931 / 5879 ti = "16/26931/5879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26931/5879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26931 ÷ 216
    26931 ÷ 65536     		x = 0.410934448242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5879 ÷ 216
    5879 ÷ 65536     		y = 0.0897064208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410934448242188 × 2 - 1) × π
    -0.178131103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55961537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0897064208984375 × 2 - 1) × π
    0.820587158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.57795058776738
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55961537} λ = -0.55961537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57795058776738))-π/2
    2×atan(13.1701194789425)-π/2
    2×1.49501228692311-π/2
    2.99002457384623-1.57079632675     		φ = 1.41922825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55961537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.063599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41922825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.315789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26931 KachelY 5879 -0.55961537 1.41922825 -32.063599 81.315789
    Oben rechts KachelX + 1 26932 KachelY 5879 -0.55951949 1.41922825 -32.058105 81.315789
    Unten links KachelX 26931 KachelY + 1 5880 -0.55961537 1.41921377 -32.063599 81.314959
    Unten rechts KachelX + 1 26932 KachelY + 1 5880 -0.55951949 1.41921377 -32.058105 81.314959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41922825-1.41921377) × R
    1.44799999999279e-05 × 6371000     		dl = 92.2520799995405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41922825-1.41921377) × R
    1.44799999999279e-05 × 6371000     		dr = 92.2520799995405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55961537--0.55951949) × cos(1.41922825) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.15098841709693 × 6371000     		do = 92.2314980464565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55961537--0.55951949) × cos(1.41921377) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.151002731075603 × 6371000     		du = 92.2402417615136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41922825)-sin(1.41921377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15098841709693-0.151002731075603)×R²
    abs(-0.55951949--0.55961537)×1.43139786729918e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.43139786729918e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.43139786729918e-05×40589641000000     		ar = 8508.95084966334m²