Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26931 / 11607
↖ ↑ ↗
← N 46.384833°
E115.872803°		 ← 842.70 m → N 46.384833°
E115.883789°		 →
↑
842.76 m
↓
↑
842.76 m
↓
N 46.377254°
E115.872803°		 ← 842.82 m →
710 240 m²		 N 46.377254°
E115.883789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821884155273438 y=0.354232788085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821884155273438 × 215)
    floor (0.821884155273438 × 32768)
    floor (26931.5)     		tx = 26931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.354232788085938 × 215)
    floor (0.354232788085938 × 32768)
    floor (11607.5)     		ty = 11607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26931 / 11607 ti = "15/26931/11607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26931/11607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26931 ÷ 215
    26931 ÷ 32768     		x = 0.821868896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11607 ÷ 215
    11607 ÷ 32768     		y = 0.354217529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821868896484375 × 2 - 1) × π
    0.64373779296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02236192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.354217529296875 × 2 - 1) × π
    0.29156494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.915978277940033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02236192} λ = 2.02236192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.915978277940033))-π/2
    2×atan(2.49921898718631)-π/2
    2×1.19018219475762-π/2
    2.38036438951524-1.57079632675     		φ = 0.80956806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02236192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.872803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80956806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.384833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26931 KachelY 11607 2.02236192 0.80956806 115.872803 46.384833
    Oben rechts KachelX + 1 26932 KachelY 11607 2.02255367 0.80956806 115.883789 46.384833
    Unten links KachelX 26931 KachelY + 1 11608 2.02236192 0.80943578 115.872803 46.377254
    Unten rechts KachelX + 1 26932 KachelY + 1 11608 2.02255367 0.80943578 115.883789 46.377254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80956806-0.80943578) × R
    0.000132279999999985 × 6371000     		dl = 842.755879999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80956806-0.80943578) × R
    0.000132279999999985 × 6371000     		dr = 842.755879999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02236192-2.02255367) × cos(0.80956806) × R
    0.000191750000000379 × 0.68981121722351 × 6371000     		do = 842.700458052182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02236192-2.02255367) × cos(0.80943578) × R
    0.000191750000000379 × 0.689906980490674 × 6371000     		du = 842.817446218058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80956806)-sin(0.80943578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68981121722351-0.689906980490674)×R²
    abs(2.02255367-2.02236192)×9.57632671643172e-05×R²
    0.000191750000000379×9.57632671643172e-05×6371000²
    0.000191750000000379×9.57632671643172e-05×40589641000000     		ar = 710240.063370077m²