Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26931 / 10421
↖ ↑ ↗
← N 54.642056°
E115.872803°		 ← 706.94 m → N 54.642056°
E115.883789°		 →
↑
706.99 m
↓
↑
706.99 m
↓
N 54.635697°
E115.872803°		 ← 707.05 m →
499 840 m²		 N 54.635697°
E115.883789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821884155273438 y=0.318038940429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821884155273438 × 215)
    floor (0.821884155273438 × 32768)
    floor (26931.5)     		tx = 26931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318038940429688 × 215)
    floor (0.318038940429688 × 32768)
    floor (10421.5)     		ty = 10421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26931 / 10421 ti = "15/26931/10421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26931/10421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26931 ÷ 215
    26931 ÷ 32768     		x = 0.821868896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10421 ÷ 215
    10421 ÷ 32768     		y = 0.318023681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821868896484375 × 2 - 1) × π
    0.64373779296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02236192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318023681640625 × 2 - 1) × π
    0.36395263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.14339092973758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02236192} λ = 2.02236192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14339092973758))-π/2
    2×atan(3.13738901377805)-π/2
    2×1.26224005179284-π/2
    2.52448010358568-1.57079632675     		φ = 0.95368378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02236192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.872803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95368378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.642056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26931 KachelY 10421 2.02236192 0.95368378 115.872803 54.642056
    Oben rechts KachelX + 1 26932 KachelY 10421 2.02255367 0.95368378 115.883789 54.642056
    Unten links KachelX 26931 KachelY + 1 10422 2.02236192 0.95357281 115.872803 54.635697
    Unten rechts KachelX + 1 26932 KachelY + 1 10422 2.02255367 0.95357281 115.883789 54.635697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95368378-0.95357281) × R
    0.000110969999999933 × 6371000     		dl = 706.98986999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95368378-0.95357281) × R
    0.000110969999999933 × 6371000     		dr = 706.98986999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02236192-2.02255367) × cos(0.95368378) × R
    0.000191750000000379 × 0.578682705689048 × 6371000     		do = 706.941506567337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02236192-2.02255367) × cos(0.95357281) × R
    0.000191750000000379 × 0.578773204017074 × 6371000     		du = 707.052062876913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95368378)-sin(0.95357281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578682705689048-0.578773204017074)×R²
    abs(2.02255367-2.02236192)×9.04983280259897e-05×R²
    0.000191750000000379×9.04983280259897e-05×6371000²
    0.000191750000000379×9.04983280259897e-05×40589641000000     		ar = 499839.56543346m²