Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26930 / 5438
↖ ↑ ↗
← N 81.674015°
W 32.069092°		 ← 88.45 m → N 81.674015°
W 32.063599°		 →
↑
88.43 m
↓
↑
88.43 m
↓
N 81.673220°
W 32.069092°		 ← 88.45 m →
7 822 m²		 N 81.673220°
W 32.063599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410926818847656 y=0.0829849243164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410926818847656 × 216)
    floor (0.410926818847656 × 65536)
    floor (26930.5)     		tx = 26930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0829849243164062 × 216)
    floor (0.0829849243164062 × 65536)
    floor (5438.5)     		ty = 5438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26930 / 5438 ti = "16/26930/5438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26930/5438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26930 ÷ 216
    26930 ÷ 65536     		x = 0.410919189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5438 ÷ 216
    5438 ÷ 65536     		y = 0.082977294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410919189453125 × 2 - 1) × π
    -0.17816162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55971124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.082977294921875 × 2 - 1) × π
    0.83404541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.62023093323227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55971124} λ = -0.55971124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62023093323227))-π/2
    2×atan(13.7388959864153)-π/2
    2×1.49813840313598-π/2
    2.99627680627195-1.57079632675     		φ = 1.42548048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55971124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.069092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42548048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.674015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26930 KachelY 5438 -0.55971124 1.42548048 -32.069092 81.674015
    Oben rechts KachelX + 1 26931 KachelY 5438 -0.55961537 1.42548048 -32.063599 81.674015
    Unten links KachelX 26930 KachelY + 1 5439 -0.55971124 1.42546660 -32.069092 81.673220
    Unten rechts KachelX + 1 26931 KachelY + 1 5439 -0.55961537 1.42546660 -32.063599 81.673220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42548048-1.42546660) × R
    1.38800000000217e-05 × 6371000     		dl = 88.4294800001379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42548048-1.42546660) × R
    1.38800000000217e-05 × 6371000     		dr = 88.4294800001379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55971124--0.55961537) × cos(1.42548048) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.144804954767007 × 6371000     		do = 88.4450954071914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55971124--0.55961537) × cos(1.42546660) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.144818688460898 × 6371000     		du = 88.4534837794571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42548048)-sin(1.42546660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144804954767007-0.144818688460898)×R²
    abs(-0.55961537--0.55971124)×1.37336938912935e-05×R²
    9.58700000001089e-05×1.37336938912935e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×1.37336938912935e-05×40589641000000     		ar = 7821.52468542763m²