Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26930 / 10418
↖ ↑ ↗
← N 54.661124°
E115.861816°		 ← 706.61 m → N 54.661124°
E115.872803°		 →
↑
706.67 m
↓
↑
706.67 m
↓
N 54.654768°
E115.861816°		 ← 706.72 m →
499 380 m²		 N 54.654768°
E115.872803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821853637695312 y=0.317947387695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821853637695312 × 215)
    floor (0.821853637695312 × 32768)
    floor (26930.5)     		tx = 26930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317947387695312 × 215)
    floor (0.317947387695312 × 32768)
    floor (10418.5)     		ty = 10418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26930 / 10418 ti = "15/26930/10418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26930/10418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26930 ÷ 215
    26930 ÷ 32768     		x = 0.82183837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10418 ÷ 215
    10418 ÷ 32768     		y = 0.31793212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82183837890625 × 2 - 1) × π
    0.6436767578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02217017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31793212890625 × 2 - 1) × π
    0.3641357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.14396617253302
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02217017} λ = 2.02217017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14396617253302))-π/2
    2×atan(3.13919429339199)-π/2
    2×1.26240645428301-π/2
    2.52481290856602-1.57079632675     		φ = 0.95401658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02217017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.861816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95401658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.661124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26930 KachelY 10418 2.02217017 0.95401658 115.861816 54.661124
    Oben rechts KachelX + 1 26931 KachelY 10418 2.02236192 0.95401658 115.872803 54.661124
    Unten links KachelX 26930 KachelY + 1 10419 2.02217017 0.95390566 115.861816 54.654768
    Unten rechts KachelX + 1 26931 KachelY + 1 10419 2.02236192 0.95390566 115.872803 54.654768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95401658-0.95390566) × R
    0.000110920000000014 × 6371000     		dl = 706.671320000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95401658-0.95390566) × R
    0.000110920000000014 × 6371000     		dr = 706.671320000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02217017-2.02236192) × cos(0.95401658) × R
    0.000191749999999935 × 0.578411257684839 × 6371000     		do = 706.609895029425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02217017-2.02236192) × cos(0.95390566) × R
    0.000191749999999935 × 0.578501736596692 × 6371000     		du = 706.720427619441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95401658)-sin(0.95390566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578411257684839-0.578501736596692)×R²
    abs(2.02236192-2.02217017)×9.04789118527649e-05×R²
    0.000191749999999935×9.04789118527649e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.04789118527649e-05×40589641000000     		ar = 499380.002862993m²