Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26929 / 6950
↖ ↑ ↗
← N 80.380890°
W 32.074585°		 ← 102.06 m → N 80.380890°
W 32.069092°		 →
↑
102.06 m
↓
↑
102.06 m
↓
N 80.379972°
W 32.074585°		 ← 102.07 m →
10 417 m²		 N 80.379972°
W 32.069092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410911560058594 y=0.106056213378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410911560058594 × 216)
    floor (0.410911560058594 × 65536)
    floor (26929.5)     		tx = 26929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106056213378906 × 216)
    floor (0.106056213378906 × 65536)
    floor (6950.5)     		ty = 6950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26929 / 6950 ti = "16/26929/6950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26929/6950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26929 ÷ 216
    26929 ÷ 65536     		x = 0.410903930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6950 ÷ 216
    6950 ÷ 65536     		y = 0.106048583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410903930664062 × 2 - 1) × π
    -0.178192138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55980711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106048583984375 × 2 - 1) × π
    0.78790283203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.47526974878122
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55980711} λ = -0.55980711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47526974878122))-π/2
    2×atan(11.8849126214335)-π/2
    2×1.48685375669333-π/2
    2.97370751338665-1.57079632675     		φ = 1.40291119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55980711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.074585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40291119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.380890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26929 KachelY 6950 -0.55980711 1.40291119 -32.074585 80.380890
    Oben rechts KachelX + 1 26930 KachelY 6950 -0.55971124 1.40291119 -32.069092 80.380890
    Unten links KachelX 26929 KachelY + 1 6951 -0.55980711 1.40289517 -32.074585 80.379972
    Unten rechts KachelX + 1 26930 KachelY + 1 6951 -0.55971124 1.40289517 -32.069092 80.379972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40291119-1.40289517) × R
    1.60199999998945e-05 × 6371000     		dl = 102.063419999328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40291119-1.40289517) × R
    1.60199999998945e-05 × 6371000     		dr = 102.063419999328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55980711--0.55971124) × cos(1.40291119) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167097595315459 × 6371000     		do = 102.06116761509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55980711--0.55971124) × cos(1.40289517) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167113390058585 × 6371000     		du = 102.070814851021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40291119)-sin(1.40289517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167097595315459-0.167113390058585)×R²
    abs(-0.55971124--0.55980711)×1.57947431257688e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.57947431257688e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.57947431257688e-05×40589641000000     		ar = 10417.2041311592m²