Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26929 / 5433
↖ ↑ ↗
← N 81.677992°
W 32.074585°		 ← 88.40 m → N 81.677992°
W 32.069092°		 →
↑
88.43 m
↓
↑
88.43 m
↓
N 81.677196°
W 32.074585°		 ← 88.41 m →
7 818 m²		 N 81.677196°
W 32.069092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410911560058594 y=0.0829086303710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410911560058594 × 216)
    floor (0.410911560058594 × 65536)
    floor (26929.5)     		tx = 26929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0829086303710938 × 216)
    floor (0.0829086303710938 × 65536)
    floor (5433.5)     		ty = 5433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26929 / 5433 ti = "16/26929/5433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26929/5433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26929 ÷ 216
    26929 ÷ 65536     		x = 0.410903930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5433 ÷ 216
    5433 ÷ 65536     		y = 0.0829010009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410903930664062 × 2 - 1) × π
    -0.178192138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55980711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0829010009765625 × 2 - 1) × π
    0.834197998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.62071030222847
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55980711} λ = -0.55980711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62071030222847))-π/2
    2×atan(13.7454835660078)-π/2
    2×1.49817310240911-π/2
    2.99634620481821-1.57079632675     		φ = 1.42554988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55980711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.074585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42554988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.677992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26929 KachelY 5433 -0.55980711 1.42554988 -32.074585 81.677992
    Oben rechts KachelX + 1 26930 KachelY 5433 -0.55971124 1.42554988 -32.069092 81.677992
    Unten links KachelX 26929 KachelY + 1 5434 -0.55980711 1.42553600 -32.074585 81.677196
    Unten rechts KachelX + 1 26930 KachelY + 1 5434 -0.55971124 1.42553600 -32.069092 81.677196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42554988-1.42553600) × R
    1.38800000000217e-05 × 6371000     		dl = 88.4294800001379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42554988-1.42553600) × R
    1.38800000000217e-05 × 6371000     		dr = 88.4294800001379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55980711--0.55971124) × cos(1.42554988) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144736285879144 × 6371000     		do = 88.4031532902028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55980711--0.55971124) × cos(1.42553600) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144750019712495 × 6371000     		du = 88.411541747649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42554988)-sin(1.42553600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144736285879144-0.144750019712495)×R²
    abs(-0.55971124--0.55980711)×1.37338333514037e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.37338333514037e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.37338333514037e-05×40589641000000     		ar = 7817.8157693988m²