Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26928 / 6736
↖ ↑ ↗
← N 80.575346°
W 32.080078°		 ← 100.03 m → N 80.575346°
W 32.074585°		 →
↑
100.02 m
↓
↑
100.02 m
↓
N 80.574446°
W 32.080078°		 ← 100.04 m →
10 006 m²		 N 80.574446°
W 32.074585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410896301269531 y=0.102790832519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410896301269531 × 216)
    floor (0.410896301269531 × 65536)
    floor (26928.5)     		tx = 26928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102790832519531 × 216)
    floor (0.102790832519531 × 65536)
    floor (6736.5)     		ty = 6736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26928 / 6736 ti = "16/26928/6736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26928/6736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26928 ÷ 216
    26928 ÷ 65536     		x = 0.410888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6736 ÷ 216
    6736 ÷ 65536     		y = 0.102783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.17822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55990299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102783203125 × 2 - 1) × π
    0.79443359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4957867418186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55990299} λ = -0.55990299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4957867418186))-π/2
    2×atan(12.1312739456969)-π/2
    2×1.48855070229685-π/2
    2.9771014045937-1.57079632675     		φ = 1.40630508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55990299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.080078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40630508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.575346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26928 KachelY 6736 -0.55990299 1.40630508 -32.080078 80.575346
    Oben rechts KachelX + 1 26929 KachelY 6736 -0.55980711 1.40630508 -32.074585 80.575346
    Unten links KachelX 26928 KachelY + 1 6737 -0.55990299 1.40628938 -32.080078 80.574446
    Unten rechts KachelX + 1 26929 KachelY + 1 6737 -0.55980711 1.40628938 -32.074585 80.574446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40630508-1.40628938) × R
    1.57000000000629e-05 × 6371000     		dl = 100.024700000401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40630508-1.40628938) × R
    1.57000000000629e-05 × 6371000     		dr = 100.024700000401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55990299--0.55980711) × cos(1.40630508) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.163750466255574 × 6371000     		do = 100.027214662842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55990299--0.55980711) × cos(1.40628938) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.16376595431352 × 6371000     		du = 100.03667556596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40630508)-sin(1.40628938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163750466255574-0.16376595431352)×R²
    abs(-0.55980711--0.55990299)×1.54880579458783e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.54880579458783e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.54880579458783e-05×40589641000000     		ar = 10005.6653008157m²