Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26928 / 5872
↖ ↑ ↗
← N 81.321592°
W 32.080078°		 ← 92.17 m → N 81.321592°
W 32.074585°		 →
↑
92.12 m
↓
↑
92.12 m
↓
N 81.320764°
W 32.080078°		 ← 92.18 m →
8 492 m²		 N 81.320764°
W 32.074585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410896301269531 y=0.0896072387695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410896301269531 × 216)
    floor (0.410896301269531 × 65536)
    floor (26928.5)     		tx = 26928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0896072387695312 × 216)
    floor (0.0896072387695312 × 65536)
    floor (5872.5)     		ty = 5872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26928 / 5872 ti = "16/26928/5872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26928/5872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26928 ÷ 216
    26928 ÷ 65536     		x = 0.410888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5872 ÷ 216
    5872 ÷ 65536     		y = 0.089599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.17822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55990299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.089599609375 × 2 - 1) × π
    0.82080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.57862170436206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55990299} λ = -0.55990299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57862170436206))-π/2
    2×atan(13.1789611312367)-π/2
    2×1.49506293553759-π/2
    2.99012587107518-1.57079632675     		φ = 1.41932954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55990299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.080078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41932954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.321592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26928 KachelY 5872 -0.55990299 1.41932954 -32.080078 81.321592
    Oben rechts KachelX + 1 26929 KachelY 5872 -0.55980711 1.41932954 -32.074585 81.321592
    Unten links KachelX 26928 KachelY + 1 5873 -0.55990299 1.41931508 -32.080078 81.320764
    Unten rechts KachelX + 1 26929 KachelY + 1 5873 -0.55980711 1.41931508 -32.074585 81.320764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41932954-1.41931508) × R
    1.44599999998274e-05 × 6371000     		dl = 92.1246599989003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41932954-1.41931508) × R
    1.44599999998274e-05 × 6371000     		dr = 92.1246599989003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55990299--0.55980711) × cos(1.41932954) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150888287558526 × 6371000     		do = 92.1703337697308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55990299--0.55980711) × cos(1.41931508) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150902581987615 × 6371000     		du = 92.1790655428955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41932954)-sin(1.41931508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150888287558526-0.150902581987615)×R²
    abs(-0.55980711--0.55990299)×1.42944290887903e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.42944290887903e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.42944290887903e-05×40589641000000     		ar = 8491.56286654535m²