Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26927 / 6226
↖ ↑ ↗
← N 81.023202°
W 32.085571°		 ← 95.30 m → N 81.023202°
W 32.080078°		 →
↑
95.31 m
↓
↑
95.31 m
↓
N 81.022345°
W 32.085571°		 ← 95.31 m →
9 084 m²		 N 81.022345°
W 32.080078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410881042480469 y=0.0950088500976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410881042480469 × 216)
    floor (0.410881042480469 × 65536)
    floor (26927.5)     		tx = 26927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0950088500976562 × 216)
    floor (0.0950088500976562 × 65536)
    floor (6226.5)     		ty = 6226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26927 / 6226 ti = "16/26927/6226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26927/6226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26927 ÷ 216
    26927 ÷ 65536     		x = 0.410873413085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6226 ÷ 216
    6226 ÷ 65536     		y = 0.095001220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410873413085938 × 2 - 1) × π
    -0.178253173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55999886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.095001220703125 × 2 - 1) × π
    0.80999755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.54468237943106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55999886} λ = -0.55999886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54468237943106))-π/2
    2×atan(12.7391812174291)-π/2
    2×1.4924589858046-π/2
    2.98491797160921-1.57079632675     		φ = 1.41412164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55999886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.085571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41412164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.023202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26927 KachelY 6226 -0.55999886 1.41412164 -32.085571 81.023202
    Oben rechts KachelX + 1 26928 KachelY 6226 -0.55990299 1.41412164 -32.080078 81.023202
    Unten links KachelX 26927 KachelY + 1 6227 -0.55999886 1.41410668 -32.085571 81.022345
    Unten rechts KachelX + 1 26928 KachelY + 1 6227 -0.55990299 1.41410668 -32.080078 81.022345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41412164-1.41410668) × R
    1.49600000001193e-05 × 6371000     		dl = 95.3101600007602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41412164-1.41410668) × R
    1.49600000001193e-05 × 6371000     		dr = 95.3101600007602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55999886--0.55990299) × cos(1.41412164) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156034491896224 × 6371000     		do = 95.3039593483758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55999886--0.55990299) × cos(1.41410668) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156049268642806 × 6371000     		du = 95.3129848044681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41412164)-sin(1.41410668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156034491896224-0.156049268642806)×R²
    abs(-0.55990299--0.55999886)×1.47767465814852e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.47767465814852e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.47767465814852e-05×40589641000000     		ar = 9083.86572348962m²